Wahrscheinlichkeitsraum

Grundidee und Bedeutung

Ein Wahrscheinlichkeitsraum, kurz W-Raum, ist ein mathematisches Modell für Zufallsexperimente. Er fasst alle möglichen Ausgänge in einer Ergebnismenge zusammen und ordnet bestimmten Teilmengen dieser Menge Zahlen zwischen 0 und 1 zu. Diese Zahlen werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Die drei Bestandteile sind die Ergebnismenge Ω, ein Ereignissystem Σ und die Wahrscheinlichkeitsfunktion P. Für Ω = {1,2,3} könnte Σ = {Ω,{1,2},{3},∅} sein. P: Σ → [0,1] ordnet den Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zu. Bei einem Glücksrad bedeutet Ω: Das Rad landet auf 1, 2 oder 3; {1,2}: Es landet auf 1 oder 2; {3}: Es landet auf 3; ∅: Es landet auf keinem Feld und ist unmöglich. Möglich sind etwa P(Ω)=1, P({1,2})=0.7, P({3})=0.3 und P(∅)=0.

Formale Definition

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum (Ω,Σ,P), dessen Maß P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Ω ist eine beliebige nichtleere Menge, die Ergebnismenge; ihre Elemente heißen Ergebnisse. Σ ist eine σ-Algebra über Ω. Das heißt: Σ besteht aus Teilmengen von Ω, enthält Ω und ist abgeschlossen gegenüber Komplementen und abzählbaren Vereinigungen. Die Elemente von Σ heißen Ereignisse; Σ heißt auch Ereignissystem oder Ereignisalgebra.

P: Σ → [0,1] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Es erfüllt P(∅)=0, P(Ω)=1 und für paarweise disjunkte, also sich gegenseitig ausschließende, Ereignisse A₁,A₂,… gilt P(A₁∪A₂∪…)=P(A₁)+P(A₂)+…. Der Messraum (Ω,Σ) heißt Ereignisraum. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist somit ein Ereignisraum mit einem zusätzlichen Wahrscheinlichkeitsmaß.

Glücksrad als Modell

Für ein Glücksrad mit Ω={1,2,3} werden Wahrscheinlichkeiten als Anteil des Winkels eines Sektors am Vollkreis zugeordnet. Die möglichen Ausgänge werden als sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse modelliert: Das Rad kann nur in einer Winkelstellung stehen bleiben und daher nur einer der Zahlen 1, 2 oder 3 zugeordnet werden. Ein Mechanismus verhindert, dass es genau auf einer Sektorgrenze stehen bleibt; die Elementarereignisse sind deshalb disjunkt.

Hier ist Σ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. Gelten P({1})=P({2})=1/4 und P({3})=1/2, folgt aus der Additivität für disjunkte Ereignisse: P({2,3})=P({2}∪{3})=P({2})+P({3})=1/4+1/2=3/4.

Wichtige Klassen

Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum hat eine endliche oder abzählbar unendliche Ergebnismenge Ω und Σ=℘(Ω), also die Potenzmenge mit allen Teilmengen von Ω. Allgemeiner heißt ein Raum diskret, wenn es ein endliches oder abzählbar unendliches Ereignis T∈Σ mit P(T)=1 gibt. T ist dann ein fast sicheres Ereignis und Träger von P.

Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum besitzt eine endliche Grundmenge und die Potenzmenge als σ-Algebra. Er ist stets diskret. Für Ω={0,1} mit Bernoulli-Verteilung P({0})=p=1−P({1}) heißt er Bernoulli-Raum.

Ein symmetrischer oder Laplace-Raum hat Ω={ω₁,…,ωₙ}, Σ=℘(Ω) und P({ωᵢ})=1/n. Dies ist die diskrete Gleichverteilung; solche Räume sind endlich und diskret.

Vollständig ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, wenn zu jedem Ereignis A∈Σ mit Wahrscheinlichkeit Null auch alle Teilmengen von A in Σ liegen. Ein Atom ist ein Ereignis A mit P(A)>0, bei dem für jedes B∈Σ mit B⊂A entweder P(B)=0 oder P(B)=P(A) gilt. Atomlos heißt ein Raum ohne Atome. Solche Räume lassen reelle Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion zu, insbesondere eine stetige Gleichverteilung auf (0,1). Weitere Klassen sind induzierte Wahrscheinlichkeitsräume, Produkträume und filtrierte Wahrscheinlichkeitsräume.

Diskretes und reelles Beispiel

Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist (ℕ,℘(ℕ),Pλ) mit ℕ={0,1,2,…}. Jede natürliche Zahl ist ein Ergebnis, und jede Teilmenge von ℕ ist ein Ereignis. Die Poisson-Verteilung Pλ ordnet für λ>0 jedem {k}, k∈ℕ, die Wahrscheinlichkeit Pλ({k})=(λᵏ/k!) e^(−λ) zu.

Ein reeller Wahrscheinlichkeitsraum ist ([0,∞),ℬ([0,∞)),PExp(λ)). Die Ergebnismenge besteht aus allen nicht-negativen reellen Zahlen. ℬ([0,∞)) ist die auf [0,∞) eingeschränkte Borelsche σ-Algebra; dazu gehören beispielsweise offene, halboffene und abgeschlossene Intervalle sowie deren Vereinigungen, Schnitte und Komplemente. Für λ>0 ist die Exponentialverteilung durch PExp(λ)(A)=∫A λ exp(−λx) dx für A∈ℬ([0,∞)) gegeben.