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Ergebnisraum
Die Elemente eines Ergebnisraumes müssen sich gegenseitig ausschließen, sowie in ihrer Gesamtheit, den ganzen Raum möglicher Ergebnisse abdecken. Um bei …
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Grundidee des Ergebnisraums
Der Ergebnisraum, auch Ergebnismenge oder Stichprobenraum, wird in der Stochastik mit Ω bezeichnet. Er ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Seine Elemente müssen sich gegenseitig ausschließen und zusammen alle möglichen Ergebnisse des Experiments abdecken.
Teilmengen von Ω heißen Ereignisse. Um ein Zufallsexperiment durch einen Wahrscheinlichkeitsraum zu beschreiben, werden solchen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Entscheidungsbaum helfen, einen passenden Ergebnisraum übersichtlich aufzustellen.
Bedeutung für Wahrscheinlichkeiten
Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten diskreter Ereignisse nach Laplace ist die Mächtigkeit des Ergebnisraums, also die Anzahl seiner Elemente, unbedingt notwendig.
Ein Wahrscheinlichkeitsraum hat die Form (Ω, Σ, P). Dabei ist Ω der Ergebnisraum, Σ die Ereignisalgebra mit den „interessierenden Ereignissen“ und P das Wahrscheinlichkeitsmaß, das auf Σ definiert ist.
Typische Ergebnisräume
Beim Würfeln mit einem Würfel gilt: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Beim einfachen Münzwurf gilt: Ω = {K, Z}, wobei K für Kopf und Z für Zahl steht.
Beim gleichzeitigen Wurf zweier unterscheidbarer Münzen gilt: Ω = {Kk, Kz, Zz, Zk}. Die Großbuchstaben K und Z bezeichnen Kopf beziehungsweise Zahl der großen Münze; die Kleinbuchstaben k und z diejenigen der kleinen Münze.
Für ein Zufallsexperiment kann es mehrere sinnvolle Ergebnisräume geben. Beim Ziehen einer Karte kann man beispielsweise nur Kartenwerte wie Ass, 2, 3, … oder nur Farben wie Kreuz, Pik, Herz, Karo betrachten. Eine vollständige Aufzählung berücksichtigt Kartenwert und Farbe; die entsprechende Ergebnismenge kann als kartesisches Produkt dieser beiden Ergebnismengen gebildet werden.
Abgrenzung verwandter Begriffe
In der Literatur werden Ereignissystem, Ereignisraum im Sinn eines Messraums und Ergebnisraum nicht immer sorgfältig unterschieden. Deshalb wird der Ergebnisraum gelegentlich auch Ereignisraum genannt.
Die einzelnen Ergebnisse in Ω werden teilweise Elementarereignisse genannt. Da aber auch Teilmengen von Ω Ereignisse heißen, kann dies zu einer begrifflichen Überschneidung führen. Häufig bezeichnet man deshalb die einelementigen Teilmengen von Ω als Elementarereignisse.