Wurzelgleichung

Definition und Bedeutung

Wurzelgleichungen sind Bestimmungsgleichungen der elementaren Algebra, bei denen die Unbekannte, meist x, mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Dabei können Quadratwurzeln oder Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten auftreten.

Bei reellen Zahlen muss zunächst der zulässige Definitionsbereich bestimmt werden. Ein Radikand, also der Term unter einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten, muss größer oder gleich 0 sein. Nur Werte aus diesem Definitionsbereich können Lösungen der Gleichung sein.

Lösungsverfahren und Probe

Viele Wurzelgleichungen werden durch wiederholtes Isolieren und Potenzieren gelöst:

• Zunächst bestimmt man den Definitionsbereich.

• Dann isoliert man eine Wurzel, bringt sie also allein auf eine Seite der Gleichung.

• Anschließend potenziert man beide Seiten mit dem Wurzelexponenten. Bei einer Quadratwurzel werden beide Seiten quadriert.

• Falls danach noch Wurzeln vorhanden sind, wird das Verfahren wiederholt, bis alle Wurzeln beseitigt sind.

• Die entstandene Gleichung wird gelöst. Abschließend müssen alle gefundenen Werte durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft werden.

Das Potenzieren mit einer geraden Zahl ist keine Äquivalenzumformung: Aus der falschen Aussage 2=-2 entsteht durch Quadrieren die wahre Aussage 2^2=(-2)^2. Deshalb können beim Lösen zusätzliche Werte entstehen, die zwar die umgeformte Gleichung, aber nicht die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen. Solche Werte heißen Scheinlösungen. Die Probe ist daher bei Wurzelgleichungen unverzichtbar.

Beispielrechnung

Gegeben ist über der Grundmenge \mathbb{R} die Gleichung

\sqrt{8-2x}=1+\sqrt{5-x}.

Für den maximal zulässigen Definitionsbereich müssen beide Radikanden nichtnegativ sein. Aus 8-2x\geq0 folgt x\leq4, aus 5-x\geq0 folgt x\leq5. Da beide Bedingungen gleichzeitig gelten müssen, ist

D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq4\}=]-\infty;4].

Nun werden beide Seiten quadriert:

(\sqrt{8-2x})^2=(1+\sqrt{5-x})^2.

Auf der rechten Seite wird die binomische Formel (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 angewendet:

8-2x=1+2\sqrt{5-x}+(5-x).

Vor dem erneuten Quadrieren wird der Summand mit der verbleibenden Wurzel isoliert. Durch Subtraktion von 1 und (5-x) auf beiden Seiten erhält man

2-x=2\sqrt{5-x}.

Erneutes Quadrieren ergibt

(2-x)^2=(2\sqrt{5-x})^2,

also

4-4x+x^2=20-4x.

Durch Addition von 4x und anschließende Subtraktion von 4 folgt

x^2=16.

Die dadurch erhaltenen möglichen Lösungen sind x_1=4 und x_2=-4.

Prüfung und Lösungsmenge

Beide möglichen Lösungen liegen im Definitionsbereich, müssen aber dennoch in der ursprünglichen Gleichung geprüft werden.

Für x=4 ist die linke Seite

\sqrt{8-2\cdot4}=\sqrt0=0,

während die rechte Seite

1+\sqrt{5-4}=1+\sqrt1=2

beträgt. Da 0\neq2, ist x=4 eine Scheinlösung.

Für x=-4 ergibt die linke Seite

\sqrt{8-2\cdot(-4)}=\sqrt{16}=4.

Die rechte Seite ist

1+\sqrt{5-(-4)}=1+\sqrt9=4.

Damit erfüllt x=-4 die ursprüngliche Gleichung. Die Lösungsmenge lautet daher

L=\{-4\}.