Quadratwurzel

Grundidee und reelle Quadratwurzel

Die Quadratwurzel √y einer nichtnegativen reellen Zahl y ist die eindeutig bestimmte nichtnegative reelle Zahl x, deren Quadrat y ergibt: x² = x·x = y. Die Zahl oder der Term unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Gleichwertige Schreibweisen sind √y, ²√y und y^(1/2). Beispielsweise gilt √9 = 3, weil 3² = 9 und 3 ≥ 0.

Für y > 0 hat die Gleichung x² = y zwar zwei Lösungen, nämlich x₁ = √y und x₂ = −√y. Als Quadratwurzel bezeichnet man im Reellen jedoch nur die nichtnegative Lösung. Insbesondere ist √9 nicht −3, obwohl auch (−3)² = 9 gilt.

Formal ist die Quadratwurzelfunktion die Umkehrfunktion der auf nichtnegative Zahlen eingeschränkten Quadratfunktion q: [0,∞) → [0,∞), x ↦ x². Diese Einschränkung ist bijektiv, also umkehrbar. Die Quadratfunktion auf ganz ℝ ist dagegen nicht injektiv, weil x und −x dasselbe Quadrat besitzen, und nicht surjektiv auf ℝ, weil kein Quadrat negativ ist. Deshalb ist die reelle Quadratwurzel nur für nichtnegative Radikanden definiert und liefert nur nichtnegative Werte.

Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ist entweder ganzzahlig oder irrational. So ist √2 keine rationale Zahl. Der Graph y = √x entsteht durch Spiegelung des nichtnegativen Teils des Graphen y = x² an der Geraden y = x. In doppeltlogarithmischer Darstellung ist er eine Gerade mit der Steigung 1/2.

Rechenregeln und Eigenschaften

Für reelle Quadratwurzeln gelten insbesondere folgende Regeln:

• √(a·b) = √a·√b für a ≥ 0 und b ≥ 0.

• Sind a ≤ 0 und b ≤ 0, so gilt √(a·b) = √(−a)·√(−b), da −a und −b nichtnegativ sind.

• 0 ≤ a < b gilt genau dann, wenn 0 ≤ √a < √b. Die Quadratwurzelfunktion ist daher streng monoton wachsend.

• Für jedes reelle a gilt √(a²) = |a|, nicht allgemein √(a²) = a. Der Betrag ist nötig, weil der Wert einer reellen Quadratwurzel niemals negativ ist.

• (√a)² = a gilt nur für a ≥ 0, da √a im Reellen sonst nicht definiert ist.

Auf ℝ₊ ist die Quadratwurzelfunktion differenzierbar. Ihre Ableitung lautet d√x/dx = 1/(2√x) = √x/(2x). Bei x = 0 ist sie nicht differenzierbar; dort besitzt ihr Graph die senkrechte Tangente x = 0. Auf jedem abgeschlossenen Teilintervall [a,b] ihres Definitionsbereichs ist sie Riemann-integrierbar. Eine Stammfunktion ist F(x) = (2/3)√(x³).

Berechnung und geometrische Konstruktion

Ist eine Quadratwurzel irrational, besteht ihre Berechnung darin, einen Näherungswert mit ausreichender Genauigkeit zu finden. Dafür nennt der Artikel mehrere Verfahren: schriftliches Wurzelziehen, Intervallschachtelung, das Babylonische Wurzelziehen beziehungsweise Heron-Verfahren, eine Taylorreihenentwicklung und den CORDIC-Algorithmus. Das schriftliche Wurzelziehen ähnelt der schriftlichen Division. Das Heron-Verfahren ist eine schnell konvergierende Anwendung des Newton-Verfahrens auf x ↦ x²−a und wird häufig in Taschenrechnern eingesetzt. CORDIC kommt besonders in Rechenwerken, FPUs und Mikrocontrollern zum Einsatz.

Bei der Intervallschachtelung grenzt man die Wurzel durch Quadrate ein. Aus 1² < 2 < 2² folgt 1 < √2 < 2. Wegen 1,4² = 1,96 < 2 und 1,5² = 2,25 > 2 liegt √2 zwischen 1,4 und 1,5. Eine feinere Eingrenzung ergibt 1,41421356² < 2 < 1,41421357² und damit √2 ≈ 1,41421356. Bei der binären Variante wird das jeweilige Intervall fortlaufend halbiert.

Die Taylorentwicklung um t = 1 lautet für 0 ≤ t ≤ 2: √t = 1 + 1/2(t−1) − 1/8(t−1)² + 1/16(t−1)³ − 5/128(t−1)⁴ ± … Sie entsteht aus der binomischen Reihe für (1+x)^(1/2), die für |x| ≤ 1 punktweise gegen √(1+x) konvergiert.

Quadratwurzeln lassen sich außerdem mit Zirkel und Lineal konstruieren. Mithilfe des Katheten- oder Höhensatzes wird ein rechtwinkliges Dreieck in einem Halbkreis aufgebaut, sodass eine Kathete beziehungsweise die Höhe die Länge √a besitzt. Beim Höhensatz trägt man etwa die Längen 1 und a nebeneinander ab, zeichnet den Halbkreis über 1+a und errichtet am Übergang eine Senkrechte. Auch √(a·b) kann so als geometrisches Mittel der Längen a und b konstruiert werden; das Beispiel mit 6 und 4 liefert √24.

Komplexe Quadratwurzeln

Für jede komplexe Zahl z ≠ 0 besitzt die Gleichung w² = z genau zwei Lösungen. In der Gaußschen Zahlenebene haben beide den Betrag √|z| und liegen einander gegenüber. Die Wurzel in der rechten Halbebene heißt Hauptwert; bei einem negativen reellen z ist die Wurzel mit positivem Imaginärteil der Hauptwert. Die zweite Lösung, der Nebenwert, entsteht durch Vorzeichenumkehr beziehungsweise eine Drehung um 180° am Ursprung.

Schreibt man z = r·e^(iφ) mit r > 0 und −π < φ ≤ π, so sind w₁ = √r·e^(iφ/2) und w₂ = √r·e^(i(φ/2+π)). Das Wurzelziehen halbiert somit den Winkel beziehungsweise das Argument von z. Der Hauptzweig wird als Umkehrung der Quadratfunktion auf der rechten Halbebene einschließlich des Randes mit nichtnegativem Imaginärteil definiert. Für z = x+iy lautet der Hauptwert √z = √((|z|+x)/2) + i·sgn⁺(y)·√((|z|−x)/2), wobei sgn⁺(y) = +1 für y ≥ 0 und −1 für y < 0 ist.

Beim Beispiel z = −1+i√3 ist |z| = √(1+3) = 2. Daraus folgen w₁ = √2·(1/2+i√3/2) und w₂ = −w₁ = √2·(−1/2−i√3/2).

Das Potenzgesetz (a·b)^r = a^r·b^r gilt für r = 1/2 nicht uneingeschränkt in ℂ, auch nicht bei Verwendung der Hauptwerte. Schon √(z²) = z ist für z = −1 falsch: Der Hauptwert von √((-1)²) = √1 ist 1 und nicht −1. Daher kann keine komplexe Quadratwurzelfunktion das Potenzgesetz für alle a,b ∈ ℂ erfüllen.

Quadratwurzeln modulo n

Im Restklassenring ℤ/nℤ heißt q eine Quadratwurzel von x, wenn q² ≡ x (mod n) gilt. Zur Berechnung zerlegt man zunächst n in Primzahlpotenzen, n = p₁^m₁·p₂^m₂·…·pₖ^mₖ, bestimmt die Lösungen modulo jeder Primzahlpotenz und setzt sie anschließend mit dem Chinesischen Restsatz zusammen.

Modulo 2 hat jede Zahl genau eine Quadratwurzel, nämlich sich selbst. Für eine ungerade Primzahl p prüft das Legendre-Symbol, ob eine Lösung existiert: (x/p) ≡ x^((p−1)/2) (mod p). Der Wert −1 kennzeichnet einen quadratischen Nichtrest und damit das Fehlen einer Quadratwurzel; 0 bedeutet, dass x und p nicht teilerfremd sind, und liefert nur die Wurzel 0; beim Wert 1 ist x ein quadratischer Rest.

Falls p ≡ 3 (mod 4) und (x/p) = 1, sind die beiden Lösungen q ≡ ±x^((p+1)/4) (mod p). Für p ≡ 1 (mod 4) verwendet der Artikel eine rekursiv definierte Folge Wₙ und wählt r so, dass ((r²−4x)/p) = −1 gilt. Dann erhält man q ≡ ±x/(2r)·(W_((p−1)/4)+W_((p+3)/4)) (mod p). Im ausgeführten Beispiel x = 3 und p = 37 kann r = 2 gewählt werden. Die Rekursion ergibt W₉ ≡ 10 und W₁₀ ≡ 10 (mod 37), somit q ≡ ±15 (mod 37). Die beiden Quadratwurzeln von 3 modulo 37 sind daher 15 und 22.

Matrizen und Integraloperatoren

Eine Matrix B heißt Quadratwurzel einer quadratischen Matrix A, wenn B·B = A gilt. Solche Wurzeln müssen nicht eindeutig sein. Eine wichtige Ausnahme bilden positiv definite symmetrische Matrizen: Jede solche Matrix A besitzt genau eine positiv definite symmetrische Wurzel A^(1/2). Man diagonalisiert A mithilfe einer orthogonalen Matrix, was nach dem Spektralsatz stets möglich ist, und ersetzt die Diagonalelemente durch ihre jeweils positiven Quadratwurzeln. Die Eindeutigkeit lässt sich auch daraus ableiten, dass die Exponentialabbildung ein Diffeomorphismus vom Vektorraum der symmetrischen Matrizen auf die Menge der positiv definiten symmetrischen Matrizen ist.

Als spezielle Anwendung behandelt der Artikel einen numerisch angenäherten Integraloperator. Werte eines bestimmten Integrals an äquidistanten Stützstellen xᵢ = iΔx können als Matrizenprodukt G = FI geschrieben werden. Eine erneute Anwendung liefert das Doppelintegral H = FI². Die obere Dreiecksmatrix I wirkt damit als angenäherter Integraloperator, ist jedoch nicht diagonalisierbar.

Eine Potenz I^β kann direkt als obere Dreiecksmatrix mit konstanten Diagonalen αₖ angegeben werden. Dabei ist α₀ = (Δx)^β und αₖ = Σ(j=1 bis k) [Γ(β+1)(−1)^(j+1)α_(k−j)/(Γ(j+1)Γ(β−j+1))]. Für β = 1/2 und reelles positives Δx erhält man eine Quadratwurzel I^(1/2). Das Produkt L = FI^(1/2) beschreibt numerisch ein „halbes“ bestimmtes Integral. Gesucht als alle Operatoren, deren Quadrat I ergibt, existieren die beiden Lösungen ±I^(1/2).