Parität (Mathematik)

Grundidee und Bedeutung

Parität teilt die ganzen Zahlen in zwei gleichmächtige, disjunkte Mengen: gerade und ungerade Zahlen. Eine ganze oder natürliche Zahl ist gerade, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist; andernfalls ist sie ungerade. Diese Einteilung ist eine wichtige Invariante und ein Hilfsmittel der elementaren Zahlentheorie.

Definition und Erkennung

Gerade Zahlen lassen sich als ±2k darstellen, ungerade Zahlen als ±(2k+1), jeweils für ein beliebiges k ∈ ℕ₀. Deshalb gilt auch die Null als gerade.

Bei der Division durch 2 hat eine gerade Zahl den Rest 0, eine ungerade Zahl den Rest 1. Die Parität wird daher durch die Restklasse modulo 2 bestimmt. Die Symbole (−1)⁰ = 1 und (−1)¹ = −1 werden manchmal zur Kennzeichnung der beiden Paritäten verwendet. Diese Schreibweise darf jedoch nicht mit dem positiven oder negativen Vorzeichen einer Zahl verwechselt werden.

Im Dezimal-, Binär- und allgemein in jedem Stellenwertsystem mit gerader Basis erkennt man die Parität an der letzten Ziffer: Ist diese durch 2 teilbar, ist die Zahl gerade; andernfalls ist sie ungerade.

Rechenregeln

Die Rechenregeln für gerade und ungerade Zahlen entsprechen den Rechenregeln der Restklassen 0 und 1 modulo 2. Dabei steht 0 für gerade und 1 für ungerade Zahlen.

Bei der Addition gilt: Gerade + gerade = gerade, gerade + ungerade = ungerade und ungerade + ungerade = gerade.

Bei der Multiplikation gilt: Das Produkt ist gerade, sobald mindestens ein Faktor gerade ist. Nur ungerade · ungerade ergibt eine ungerade Zahl. Insbesondere bleibt die Parität beim Quadrieren erhalten: Eine gerade Zahl hat ein gerades Quadrat, eine ungerade Zahl ein ungerades Quadrat.

Weitere Eigenschaften und Anwendungen

Die geraden Zahlen bilden ein Ideal im Ring der ganzen Zahlen; die ungeraden Zahlen bilden kein Ideal. Jede natürliche Zahl n ≥ 1 kann eindeutig als Produkt einer Zweierpotenz und einer ungeraden Zahl geschrieben werden: n = 2ˢ · u mit s ≥ 0 und u ≥ 1.

Für eine gerade Zahl g gilt (−1)ᵍ = 1, für eine ungerade Zahl u gilt (−1)ᵘ = −1. Paritätsvergleiche spielen unter anderem in Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 eine wichtige Rolle. Außerdem ist jede bisher bekannte vollkommene Zahl gerade; ob ungerade vollkommene Zahlen existieren, ist noch unbekannt.

Im Alltag wird die Einteilung beispielsweise bei der Orientierungsnummerierung verwendet: In vielen europäischen Städten liegen gerade und ungerade Hausnummern auf unterschiedlichen Straßenseiten. In vielen europäischen Ländern haben Nord-Süd-Autobahnen ungerade und West-Ost-Autobahnen gerade Nummern.

Verallgemeinerte Paritätsargumente

Parität wird auch auf andere mathematische Objekte übertragen, wenn sich deren Eigenschaften sinnvoll auf ganze Zahlen abbilden lassen und eine Division mit Rest möglich ist. Einer beliebigen reellen Zahl kann beispielsweise keine Parität zugeordnet werden.

Beim Königsberger Brückenproblem wird ein Stadtteil mit seinen Wegen als Graph dargestellt. Ein geschlossener Rundgang über alle Wege kann nur möglich sein, wenn an jedem Punkt eine gerade Anzahl von Linien abgeht: Jeder Punkt, den man verlässt, muss zuvor über einen anderen Weg erreicht worden sein. Da diese Bedingung in Königsberg nicht erfüllt war, gab es dort keinen solchen geschlossenen Weg.

Die Unlösbarkeit des ursprünglichen 15-Puzzles lässt sich mithilfe der Parität von Permutationen zeigen. Ein ähnlicher Ansatz schließt beim Zauberwürfel Stellungen aus, in denen nur zwei Kantensteine oder nur zwei Ecksteine vertauscht sind oder in denen nur ein Kantenstein oder ein Eckstein gedreht ist.

Auch Funktionen können teilweise in gerade und ungerade Funktionen eingeteilt werden, allerdings nur mit Einschränkungen als Parität. Bei reellwertigen Funktionen führt eine ungerade Ordnung einer Null- oder Polstelle stets zu einem Vorzeichenwechsel.