Äquivalenzumformung

Bedeutung und Ziel

Eine Äquivalenzumformung ist die Umformung einer Gleichung oder Ungleichung, bei der ihr Wahrheitswert unverändert bleibt. Die neue Aussage ist also für genau dieselben Variablenbelegungen wahr wie die ursprüngliche. Damit bleibt insbesondere die Lösungsmenge gleich.

Sie ist eine zentrale Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen: Eine Bedingung über eine unbekannte Größe, meist als x geschrieben, wird schrittweise in eine leichter überschaubare Form gebracht. Im Idealfall erhält man bei einer Gleichung die gesuchte Zahl, bei einer Ungleichung den gesuchten Zahlenbereich. In der Schulmathematik rechnet man dabei üblicherweise im Bereich der reellen Zahlen.

Eine Umformung ist nur dann äquivalent, wenn sie umkehrbar ist, also eine inverse Operation besitzt, und wenn die Lösungsmenge unverändert bleibt. Stets müssen beide Seiten der Gleichung oder Ungleichung umgeformt werden. Wird nur eine Seite verändert, ist dies eine Termumformung, keine Äquivalenzumformung.

Zulässige Umformungen bei Gleichungen

Bei Gleichungen sind folgende Umformungen zulässig:

• Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten.
• Multiplikation mit einem Term ungleich 0 auf beiden Seiten.
• Division durch einen Term ungleich 0 auf beiden Seiten.
• Anwendung einer injektiven Funktion auf beide Seiten.

Addition und Subtraktion erhalten die Lösungsmenge. Aus x+5=7 wird durch Subtraktion von 5 auf beiden Seiten zunächst (x+5)-5=(7)-5 und nach Vereinfachung x=2.

Auch Multiplizieren und Dividieren sind nur dann Äquivalenzumformungen, wenn der verwendete Term nicht 0 ist. Aus (1/4)x=1 wird durch Multiplikation beider Seiten mit 4 die Gleichung x=4. Vorsicht ist bei Termen mit Variablen nötig: Die Multiplikation mit x-1 ist für x=1 eine Multiplikation mit 0. Ebenso kann eine Division durch 0 verborgen auftreten. Dann ist eine Fallunterscheidung erforderlich: Fälle mit Multiplikator oder Divisor 0 müssen gesondert untersucht werden; in den übrigen Fällen gilt die Umformung nur unter einer Zusatzvoraussetzung. Division durch 0 ist ein bekannter mathematischer Trugschluss.

Injektive Funktionen und das Quadrieren

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lassen sich als Funktionen auffassen, zum Beispiel die Addition von 3 als t↦t+3. Eine Funktion darf für Äquivalenzumformungen eingesetzt werden, wenn sie linksseitig umkehrbar ist: Zu f muss eine Umkehrfunktion g mit g(f(x))=x existieren. Solche Funktionen heißen injektiv. Injektiv bedeutet hier: Verschiedene Werte werden nicht auf denselben Funktionswert abgebildet.

Das Quadrieren ist auf allen reellen Zahlen keine Äquivalenzumformung. Die Werte 2 und −2 werden beide auf 4 abgebildet; die Funktion ist deshalb nicht injektiv. Zwar folgt aus x=2 stets x²=4, aber die Umkehrung gilt nicht: x=2 hat eine Lösung, während x²=2² zwei Lösungen hat.

Für reelles x sind dagegen x²=4, √(x²)=√4 und |x|=2 äquivalent; jede dieser Gleichungen hat die zwei Lösungen 2 und −2. Wird der Wertebereich einer Gleichungsseite auf nichtnegative oder auf nichtpositive Werte eingeschränkt, kann Quadrieren äquivalent sein. Unter der Voraussetzung x≤0 sind x²=4 und x=−2 gleichwertig, unter x≥0 sind x²=4 und x=+2 gleichwertig. Bei (x−5)²=9 müsste entsprechend der Term x−5 stets ≥0 oder stets ≤0 sein. Die Einschränkung bezieht sich dabei auf die beiden Seiten der Gleichung, nicht unmittelbar auf die Unbekannte.

Ungleichungen und Vorzeichen

Bei Ungleichungen gilt das Inversionsgesetz: Bei Multiplikation oder Division durch eine negative Zahl muss die Richtung der Ordnungsrelation umgekehrt werden. Aus x>y wird durch Multiplikation mit −5 die äquivalente Ungleichung −5x<−5y. Eine Division durch −5 führt wieder zur ursprünglichen Ungleichung.

Allgemein ist die Anwendung einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung. Bei einer streng monoton steigenden Funktion bleibt die Richtung erhalten, bei einer streng monoton fallenden Funktion kehrt sie sich um. Die Funktion t↦−5t ist streng monoton fallend.

Ist das Vorzeichen eines Faktors unbekannt, braucht man eine Fallunterscheidung. Bei (x+3)/(x−2)<2 ist x=2 ausgeschlossen, weil der linke Term dann nicht definiert ist. Für x>2 darf mit x−2 multipliziert werden, ohne die Richtung zu ändern: x+3<2x−4. Für x<2 ist x−2 negativ, daher lautet die Ungleichung x+3>2x−4. Zusammen ergibt sich (x>2 und 7<x) oder (x<2 und 7>x), also insgesamt x<2 oder x>7. Üblich ist es, die Fälle getrennt zu bearbeiten und die Ergebnisse am Ende zusammenzufassen.

Schreibweise

Äquivalenzumformungen werden meist mit dem Äquivalenzpfeil ⇔ (Unicode U+21D4) notiert, zum Beispiel x+5=7 ⇔ x=2.

In der Schulmathematik zeigt ein senkrechter Strich hinter der Gleichung oder Ungleichung oft die nächste Operation auf beiden Seiten an. Beispielsweise steht bei x+5=7 der Hinweis |−5; darunter folgt x=2. Bei x>y kann |·(−5) notiert werden; daraus wird −5x<−5y.