Grundmenge

Begriff und Zweck

Eine Grundmenge, auch Universum oder Universalmenge genannt, ist in der Mathematik die Menge aller Objekte, die in einem bestimmten Zusammenhang betrachtet werden. Jede dabei betrachtete Menge ist eine Teilmenge der Grundmenge. Es müssen aber nicht immer alle möglichen Teilmengen einbezogen werden, beispielsweise bei einer σ-Algebra.

In der Logik und in den Sprachwissenschaften entspricht die Grundmenge dem Diskursuniversum, in der Prädikatenlogik der Definitionsmenge. Eine geeignet gewählte Grundmenge hilft, Widersprüche wie die Russell’sche Mengen-Antinomie zu vermeiden. Außerdem stellt sie sicher, dass Mengenoperationen wie Durchschnitt und Vereinigung im betrachteten Zusammenhang definiert sind und zu sinnvollen, widerspruchsfreien Mengen führen.

Bedeutung beim Lösen von Gleichungen

Die Grundmenge legt fest, welche Objekte überhaupt als Lösungen einer Gleichung infrage kommen. Eine Gleichung mit einer Variablen, etwa x + 5 = 3, ist zunächst eine Aussageform: Sie ist für sich genommen weder wahr noch falsch. Erst durch das Einsetzen einer konkreten Zahl für x entsteht eine Aussage, die wahr oder falsch sein kann. Die Lösungsmenge enthält genau die zugelassenen Werte, welche die Aussage wahr machen.

Die Wahl der Grundmenge beeinflusst daher, ob eine Gleichung lösbar ist und wie viele Elemente ihre Lösungsmenge enthält. Das gilt entsprechend auch für Ungleichungen und allgemein für Aussageformen mit Variablen.

Beispiel

Für die Gleichung x + 5 = 3 ist rechnerisch x = −2 erforderlich. Ist als Grundmenge die Menge der natürlichen Zahlen ℕ vorgeschrieben, darf nur dort nach einer Lösung gesucht werden. Da −2 keine natürliche Zahl ist, gibt es innerhalb dieser Grundmenge keine Lösung; die Lösungsmenge ist leer.

Wählt man dagegen eine Grundmenge, die −2 enthält, beispielsweise die Menge der ganzen Zahlen ℤ oder eine umfassendere Zahlenmenge, besitzt die Gleichung genau diese Lösung. Dann gilt für die Lösungsmenge: ℒ = {−2}.