Definitionsmenge

Grundidee

Die Definitionsmenge oder der Definitionsbereich ist die Menge genau der Werte, für die ein mathematischer Ausdruck sinnvoll ist oder eine Aussage überhaupt erfüllbar sein kann. In der Schulmathematik wird sie häufig mit D bezeichnet. Sie ist wichtig, weil Rechenvorschriften, Funktionen, Terme, Gleichungen und Ungleichungen nicht für jeden denkbaren Wert definiert sein müssen.

Funktionen: Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemenge

Eine Funktion f: A → B ordnet jedem Element der Definitionsmenge A genau ein Element der Zielmenge B zu. Der Definitionsbereich wird D_f genannt. Die Menge aller tatsächlich angenommenen Funktionswerte heißt Bild- oder Wertemenge:

W_f = {f(a) | a ∈ A} = {b | ∃ a ∈ A: f(a) = b} ⊆ B.

Grundmenge und Zielmenge gehören zur Definition einer Funktion. Werden sie nicht angegeben, ist oft die maximal mögliche Definitionsmenge gemeint, meist eine Teilmenge von ℝ oder ℂ. Gleiche Rechenvorschriften mit unterschiedlichen Grund- oder Zielmengen sind dennoch verschiedene Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

Einfluss von Definitions- und Zielmenge

Für f: x ↦ x² mit Grundmenge ℝ und Zielmenge ℝ gilt D_f = ℝ und W_f = ℝ₀⁺.

Als Funktion ℝ₀⁺ → ℝ₀⁺ ist f bijektiv, also injektiv und surjektiv. Als Funktion ℝ₀⁺ → ℝ ist sie injektiv, aber nicht surjektiv. Als Funktion ℝ → ℝ₀⁺ ist sie surjektiv, aber nicht injektiv. Als Funktion ℝ → ℝ ist sie weder surjektiv noch injektiv.

Injektiv bedeutet, dass verschiedene Eingaben verschiedene Funktionswerte haben. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge als Funktionswert vorkommt. Bijektiv bedeutet beides.

Einschränkung und Fortsetzung

Für f: A → B sowie U ⊆ A und V ⊆ B heißt r: U → V eine Einschränkung von f, wenn für alle x ∈ U gilt: r(x) = f(x). Dann heißt f eine Erweiterung oder Fortsetzung von r. Man schreibt oft r = f|_U. Eine solche Einschränkung gibt es genau dann, wenn f(U) ⊆ V gilt; dann ist sie eindeutig.

Fortsetzungen sind dagegen im Allgemeinen nicht eindeutig. Für f: ℝ \ {0} → ℝ mit x ↦ x sin(1/x) sind etwa beide Fortsetzungen auf ℝ möglich: f₀(0) = 0 beziehungsweise f₁(0) = 1, während für x ≠ 0 jeweils x sin(1/x) gilt. f₀ ist stetig, f₁ nicht. Beide sind dennoch korrekte Fortsetzungen; Eindeutigkeit entsteht erst durch zusätzliche Anforderungen wie Stetigkeit.

Relationen und Terme

Bei einer Relation R = (A, B, G) mit G ⊆ A × B ist der Definitionsbereich die Projektion auf A:

Dom(R) := {a ∈ A | ∃ b ∈ B: (a,b) ∈ G}.

Für G = {(x,y) | x = y²} mit R = (ℝ, ℝ, G) gilt Dom(R) = ℝ₀⁺: Quadrate reeller Zahlen sind nichtnegativ, und jedes nichtnegative x ist das Quadrat mindestens einer reellen Zahl y.

Der Definitionsbereich eines Terms mit Variablen ist die Menge aller zulässigen Variablenwerte, für die der Term einen sinnvollen Wert hat. So ist der Definitionsbereich von 1/(x − 1) über ℝ die Menge {x ∈ ℝ | x ≠ 1}. Für √(x − 1) + √(y − 2) über ℝ × ℝ lautet er {(x,y) ∈ ℝ × ℝ | x ≥ 1 und y ≥ 2}.

Gleichungen und Ungleichungen

Bei einer Gleichung oder Ungleichung mit den Termen T₁ und T₂ ist der Definitionsbereich die Schnittmenge ihrer Definitionsmengen. Gesucht werden nur Werte aus diesem Bereich, für die die Aussage wahr ist. Nach Umformungen müssen gefundene Werte daher überprüft werden, weil neue Gleichungen zusätzliche, unzulässige Lösungen enthalten können.

Für √(x − 1) + √(x + 1) = √(2x + 3/2) ist der Definitionsbereich {x ∈ ℝ | x ≥ 1}. Nach zweimaligem Quadrieren erhält man x² = 25/16 und damit x = −5/4 oder x = 5/4. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: Aus a = b folgt a² = b², aber nicht umgekehrt. −5/4 liegt nicht im Definitionsbereich. 5/4 erfüllt die Ausgangsgleichung und ist daher die einzige Lösung.