Term

Begriff und grundlegende Verwendung

Ein Term ist in der Mathematik eine sinnvoll und syntaktisch korrekt gebildete Kombination aus Zahlen beziehungsweise Konstanten, Variablen, mathematischen Verknüpfungen und Klammern. Zahlen und Variablen bilden die atomaren, also nicht weiter zusammengesetzten Terme. Aus ihnen entstehen größere Terme wie (x+y)². In der Praxis bezeichnet „Term“ auch einen Bestandteil einer Formel: Bei f(x)=mx+b heißen mx linearer Term und b konstanter Term.

Anschaulich ist ein Term ein mathematisches Gebilde, das man ausrechnen kann, sobald den enthaltenen Variablen passende Werte zugewiesen wurden. Die Werte müssen nicht unbedingt Zahlen sein: Der boolesche Term (p₁ ∨ ¬p₂) ∧ p₃ erhält einen Wahrheitswert, wenn p₁, p₂ und p₃ Wahrheitswerte zugeordnet werden. Formal ist ein Term jedoch zunächst nur eine nach bestimmten Regeln gebildete Zeichenkette und besitzt ohne Interpretation noch keinen Wert.

Grob gesagt können Terme auf den Seiten einer Gleichung oder in einer Relation wie einer Ungleichung stehen. Die Gleichung oder Relation selbst ist kein Term, sondern besteht aus Termen. Mit Termen kann man rechnen, sie nach zulässigen Regeln umformen, bei passenden Typen vergleichen und ineinander einsetzen. So entsteht (x+y)² aus z², wenn z durch x+y ersetzt wird. Teilterme werden oft nach ihrer Bedeutung oder Form benannt: In ½mv²+mgh stehen die Summanden für kinetische und potentielle Energie; in x³+7x²−2x+1 ist 7x² der quadratische Term.

Formaler Aufbau von Termen

In der mathematischen Logik wird ein Term rekursiv durch Bildungsregeln definiert:

• Jedes Variablensymbol v ist ein Term. • Jedes Konstantensymbol c ist ein Term. • Ist f ein k-stelliges Funktionssymbol und sind t₁,…,tₖ Terme, dann ist f(t₁,…,tₖ) ein Term.

Die Menge aller Terme zu einer Signatur S, also zu den verwendeten Symbolen und ihren Stelligkeiten, und einer Variablenmenge V wird mit 𝒯_{S,V} bezeichnet. Für Terme ohne Variablen, also V=∅, schreibt man 𝒯_S. Die von den Funktionssymbolen erzeugten Verknüpfungen machen diese Mengen selbst zu algebraischen Strukturen, der Termalgebra beziehungsweise Grundtermalgebra.

Übliche Schreibweisen können von der streng formalen Form abweichen. Für die Addition wäre +(x,y) formal ein Term; das leichter lesbare x+y ist eine metasprachliche Darstellung desselben Terms. Auch Potenzen und Multiplikationen können durch die Stellung der Zeichen ausgedrückt werden, etwa xʸ und xy. Zur besseren Übersicht verwendet man neben runden Klammern mitunter eckige oder geschweifte Klammern, zum Beispiel [2(x+y)]². In der klammerfreien polnischen Notation wird f(t₁,…,tₖ) als ft₁,…,tₖ geschrieben. Konstanten können als nullstellige Funktionen aufgefasst werden.

Der Termbegriff ist rein syntaktisch: (x+y)² und x²+2xy+y² sind zunächst verschiedene Zeichenketten. Im Modell der reellen Zahlen haben sie für alle x,y∈ℝ denselben Wert; in anderen Modellen, etwa bei 2×2-Matrizen, muss das nicht gelten. Die angegebene Definition erfasst keine Terme mit gebundenen Variablen wie ∑_{i=1}^n i², ∫a^b sin(k·t)dt oder lim{n→∞}(2n+3)/n. Bei einer erweiterten Definition heißen Terme ohne freie Variablen geschlossen.

Ein Beispiel für den regelgerechten Aufbau ist xy/4: x und y sind Variablenterme, 4 ist ein Konstantenterm, xy entsteht durch Multiplikation und xy/4 anschließend durch Division.

Auswertung und Anwendungen

In Anwendungen ersetzt man Variablen häufig durch Werte aus einer Grund- oder Definitionsmenge. Dadurch wird ein Term in einem bestimmten Modell zur Zuordnungsvorschrift einer Funktion. Die Faustformel (x/10)²+(x/10·3) beschreibt beispielsweise den Anhalteweg eines Autos in Metern, wenn x die Geschwindigkeit in km/h ist. Für x=160 ergibt sich (160/10)²+(160/10·3)=304 m. Damit wird die Funktion f:ℝ₀⁺→ℝ₀⁺ mit x↦(x/10)²+(x/10·3) festgelegt.

Formal seien eine S-Struktur 𝒜 mit Interpretationsfunktion α und eine Variablenbelegung β gegeben. Im einsortigen Fall ist β eine möglicherweise partielle Abbildung β:V⇸A. Die Termauswertung ordnet jedem auswertbaren Term t einen Wert ⟦t⟧ zu:

• Für eine Variable x gilt ⟦x⟧=β(x). • Für ein n-stelliges Funktionssymbol f gilt ⟦f(t₁,…,tₙ)⟧=α(f)(⟦t₁⟧,…,⟦tₙ⟧). • Für eine Konstante c gilt ⟦c⟧=α(c).

Die Termauswertung wird also durch zwei Parameter bestimmt: die Interpretation α der Struktur und die Variablenbelegung β. Terme selbst sind weder wahr noch falsch und besitzen ohne ein Modell keinen Wert. Im vielsortigen Fall muss β(x) im Wertebereich A_{ν(x)} der für x deklarierten Sorte liegen; die Auswertung eines Terms der Sorte s ergibt ein Element von A_s. Sind alle Wertebereiche A_s paarweise disjunkt, lässt sich die Sorte einer belegten Variablen eindeutig an ihrem Wert erkennen.

Algebraische Umformungen

Bei einer algebraischen Termumformung wird ein Term nach Rechengesetzen in einen anderen überführt, ohne seinen Wert in der vereinbarten Grundmenge zu verändern. Zu den verwendeten Regeln gehören Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Beispielsweise gilt unter passenden Voraussetzungen:

(x+y)(x−y)=x²−xy+yx−y²=x²−y².

Nach der formalen syntaktischen Definition sind die einzelnen Zeilen verschiedene Terme. Ihre Gleichwertigkeit hängt vom Modell beziehungsweise von der Grundmenge ab: Die Umformung ist nur dort gültig, wo die eingesetzten Rechengesetze gelten.

Termumformungen dienen der Vereinfachung, dem gezielten Erzeugen bestimmter Strukturen – etwa bei der quadratischen Ergänzung – und dem Herausarbeiten gewünschter Teilterme. Ein Beispiel für den letzten Zweck ist die für die Cardanische Formel wichtige Form (u+v)³=u³+v³+3uv(u+v).

Terme, Ausdrücke und Wahrheit

Ein Ausdruck oder eine Formel ist ebenfalls eine nach logischen Regeln gebildete Zeichenkette, unterscheidet sich aber vom Term. In der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit entsteht ein atomarer Ausdruck beispielsweise als Gleichung t₁=t₂ oder durch Einsetzen von Termen t₁,…,tₖ in ein k-stelliges Relationssymbol R. Aus Ausdrücken φ und ψ entstehen mit den Junktoren ∧, ∨, → und ↔ sowie den Quantoren ∃ und ∀ weitere Ausdrücke. Terme sind somit die Bestandteile, die auf den Seiten einer Gleichung oder als Argumente einer Relation vorkommen.

Mit Multiplikation ·, Relation ≤, Konstanten 0,1,2,… und Variablen x,y sind x·x, 0 und y Terme. Dagegen sind x·x=y und 0≤y Ausdrücke. Daraus kann der komplexere Ausdruck ∀y(0≤y→(∃x(x·x=y))) gebildet werden. Sein regelgerechter Aufbau ist noch kein Beweis. Im Modell der reellen Zahlen ist der Ausdruck wahr, im Modell der rationalen Zahlen falsch: Für die rationale Zahl y=2 gibt es keine rationale Zahl x mit x·x=2.

Die Gültigkeit eines Ausdrucks φ wird als (α,β)⊨φ notiert. Eine Gleichung t₁=t₂ gilt genau dann, wenn ⟦t₁⟧{α,β}=⟦t₂⟧{α,β}. R(t₁,…,tₖ) gilt, wenn das Tupel der ausgewerteten Terme zur interpretierten Relation α(R) gehört. Negation, Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz werden entsprechend ihren üblichen Wahrheitsbedingungen ausgewertet. ∀x:s φ gilt, wenn φ für jedes a∈A_s unter der lokal geänderten Belegung β_{⟨x↦a⟩} gilt; ∃x:s φ gilt, wenn mindestens ein solches a existiert. Der Wahrheitswert eines Satzes, also eines geschlossenen Ausdrucks ohne freie Variablen, hängt nicht von β ab. In der Prädikatenlogik zweiter Stufe können zusätzlich Relationsvariablen quantifiziert werden; dann reichen die Quantoren über passende Relationen R auf den jeweiligen Wertebereichen.

Vielsortige Logik

In heterogenen Strukturen werden Objekte in Sorten eingeteilt, bei einem Vektorraum beispielsweise in Vektoren und Skalare. Eine vielsortige Logik besitzt deshalb eine Menge T von Sortenbezeichnern. Ihre Signatur ordnet Funktionen und Relationen nicht nur eine Stelligkeit, sondern auch die Sorten ihrer Argumente zu; Konstanten und Funktionen erhalten außerdem eine Wertsorte. Dadurch werden unpassende Sortenkombinationen bereits als Syntaxfehler erkannt.

Für Variablen gibt es zwei verbreitete Verfahren. Entweder verwendet man eine gemeinsame Variablenmenge V und eine möglicherweise partielle Variablendeklaration ν:V⇸T, die jeder deklarierten Variablen eine Sorte zuweist. Im Wirkungsbereich eines Quantors kann diese Deklaration lokal verändert und eine vorherige Deklaration überschrieben werden. Oder man verwendet für jede Sorte eine eigene, klar getrennte Menge von Variablensymbolen; dann ist die Sorte einer Variablen fest und wird nicht lokal geändert.

Eine besondere Rolle kann die Sorte logical mit den Wahrheitswerten {false,true} spielen. Relationen lassen sich dann über ihre charakteristischen Funktionen als Prädikate auffassen; nullstellige Relationen entsprechen logischen Konstanten, ähnlich wie nullstellige Funktionen Konstanten ihrer Wertsorte entsprechen. Auch vielsortige Ausdrücke berücksichtigen Argument- und Wertsorten. In der Logik zweiter Stufe reichen Quantoren über Relationsvariablen eines Argumenttyps t; im einsortigen Fall vereinfacht sich der zugehörige Produktraum für eine k-stellige Relation zu A^k.