Würfelverdoppelung

Grundidee und mathematische Formulierung

Die Würfelverdoppelung, auch Delisches Problem genannt, ist die Aufgabe, zu einem gegebenen Würfel einen zweiten Würfel mit dem doppelten Volumen zu konstruieren. Für einen Einheitswürfel mit Kantenlänge a = 1 gilt V = 1³ = 1. Hat der gesuchte Würfel die Kantenlänge x, muss gelten: x³ = 2. Deshalb ist x = ∛2 = 1,259921… beziehungsweise bei einer beliebigen Ausgangskante a: x = a · ∛2.

Hippokrates von Chios zeigte, dass die Aufgabe gleichbedeutend mit der Bestimmung zweier mittlerer Proportionalen ist. Gesucht werden Strecken x und y mit

a : x = x : y = y : 2a.

Daraus folgt x = a · ∛2 und y = 2a / ∛2. Diese Proportionen bilden die Grundlage vieler antiker und neuzeitlicher Lösungen.

Mit Zirkel und unmarkiertem Lineal ist die exakte Konstruktion aus den Strecken 0 und 1 nicht in endlich vielen Schritten möglich. Mit zusätzlichen Hilfsmitteln, etwa einem markierten Lineal, speziellen Kurven, mechanischen Geräten oder Origami, lässt sich die erforderliche Kantenlänge jedoch exakt oder näherungsweise bestimmen. Eine Verachtfachung des Volumens ist dagegen einfach, weil ∛8 = 2 ist und die Kantenlänge verdoppelt werden kann. Ähnliche, mit Zirkel und Lineal unlösbare Aufgaben entstehen bei einer Vergrößerung auf das 3-, 4-, 5-, 6- oder 7-Fache, sofern der Faktor keine Kubikzahl ist.

Antike Entwicklung und Beweis der Unmöglichkeit

Die Aufgabe wurde im 5. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland formuliert. Eine wichtige Quelle ist Eutokios’ spätantiker Kommentar zu Archimedes’ Schrift „Über Kugel und Zylinder“. Darin wird unter anderem ein Brief des Eratosthenes an einen König Ptolemaios überliefert. Die Bezeichnung „Delisches Problem“ bezieht sich auf die Überlieferung, dass die Bewohner der Insel Delos während einer Seuche den würfelförmigen Altar im Apollontempel verdoppeln sollten. Sie baten Platon um Hilfe; dieser verwies sie der Überlieferung nach an Archytas, Eudoxos und Menaichmos.

Hippokrates lieferte den theoretischen Grundansatz. Archytas konstruierte eine Lösung mithilfe seiner Raumkurve. Menaichmos verwendete Kegelschnitte, Eudoxos unbekannte Kurven und Eratosthenes das mechanische Mesolabium. Diokles benutzte die Zissoide. Eutokios schrieb außerdem eine mechanische Lösung Platon zu; ob diese tatsächlich vom Philosophen stammt, ist in der Forschung umstritten. Sporus und Pappos entwickelten Konstruktionen, die der späteren Lösung Dürers nahekommen.

Die Unlösbarkeit mit Zirkel und Lineal bewies Pierre Wantzel 1837. Eine solche Konstruktion kann nur Zahlen erzeugen, die durch rationale Zahlen, die vier Grundrechenarten und wiederholte Quadratwurzeln entstehen. Algebraisch entsprechen diese Konstruktionen Körpererweiterungen mit einem Grad, der eine Zweierpotenz ist. Für ∛2 gilt jedoch: Das Polynom p(x) = x³ − 2 ist über den ganzen und daher nach dem Lemma von Gauß auch über den rationalen Zahlen irreduzibel. Es ist das Minimalpolynom von ∛2 und hat Grad 3. Außerdem gilt [ℚ(∛2):ℚ] = 3 ≠ 2ⁿ für alle n ∈ ℕ. Daher ist ∛2 nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Wantzels Originalbeweis galt später als lückenhaft und schwer verständlich; Jesper Lützen formulierte die fehlenden Argumente in moderner Sprache. Historiker vermuten, dass Carl Friedrich Gauß bereits früher entsprechende Kenntnisse besaß. In heutiger Sicht ist der Beweis eine Anwendung der Galoistheorie.

Konstruktionen mit markiertem Lineal

Ein markiertes Lineal erlaubt sogenannte Neusis-Konstruktionen. Dabei wird das Lineal so verschoben, dass gleichzeitig bestimmte Punkte oder Linien getroffen werden. Diese zusätzliche Bedingung ist mit einem unmarkierten Lineal nicht zulässig.

Bei einer Konstruktion nach Isaac Newton wird aus der Kante k des Ausgangswürfels zunächst ein gleichseitiges Dreieck ABC gebildet. Nach weiteren Verlängerungen wird ein Lineal eingesetzt, dessen Markierung den Abstand k von einer Ecke hat. Es wird so angelegt, dass die Ecke P auf einer Verlängerung liegt, die Markierung Q auf einer zweiten Geraden und die Linealkante durch C verläuft. Dann ist CQ = k · ∛2, also die Kantenlänge des gesuchten Würfels.

Eine zweite, einfachere Newtonsche Konstruktion beginnt mit einer Senkrechten AB der Länge a und einem Winkelschenkel von 30° bei B. Ein markiertes Lineal wird so angelegt, dass seine Ecke D auf dem Winkelschenkel, die Markierung C auf einer Halbgeraden und seine Kante durch A liegt. Dann gilt AC = a · ∛2.

Der Nachweis benutzt ähnliche rechtwinklige Dreiecke, den zweiten Strahlensatz, den Tangens von 30° und den Satz des Pythagoras. Aus den Beziehungen

a : x = b : y = c : a,

tan(30°) = x/(b + y) = a²/[b(a + c)] und b² = c² − a² folgt nach Umformungen c³(2a + c) = 2a³(2a + c), also c³ = 2a³. Damit besitzt der Würfel mit Kantenlänge c genau das doppelte Volumen des Ausgangswürfels.

Dürers Konstruktion mit Strichskale

Albrecht Dürer veröffentlichte 1525 in der „Underweysung der Messung“ eine theoretisch exakte Konstruktion mit einem Lineal mit Strichskale. Sie ähnelt Lösungen von Sporus und Pappos. Zunächst werden zwei gleich große, aufeinanderliegende Würfel mit a = 1 betrachtet. Auf ihrer gemeinsamen Mittelachse liegen die Punkte C, B und A. Ein Halbkreis um C mit Radius |CA| erzeugt den Durchmesser DE; die Gerade durch E und B schneidet den Halbkreis in F.

Nun müssen mit dem Lineal Punkte G, H und I so bestimmt werden, dass GH = HI gilt. Dazu kann ein schmales Lineal mit markierter Mitte verwendet werden: Es wird vom Punkt A in Richtung E verschoben und gedreht, wobei seine Kante stets durch D verläuft. Die Konstruktion ist beendet, wenn G und I denselben Abstand von der Skalenmitte haben. Alternativ kann man ein unmarkiertes Lineal und einen Zirkel verwenden, die Punkte nach jedem Schritt markieren und mit einem Kontrollkreisbogen prüfen, wann GH = HI gilt.

Danach werden um C Viertelkreise mit den Radien CH und CB gezeichnet. Sie schneiden CE in H′ und CD in A′. Die Strecke A′H′ wird halbiert; der Halbkreis über dieser Strecke schneidet den Radius AC in K. Dann ist CK = ∛2 die exakte Kantenlänge des verdoppelten Einheitswürfels. Allgemein gilt bei Ausgangskante a entsprechend CK = a · ∛2.

Die Richtigkeit wird über mehrere ähnliche rechtwinklige Dreiecke gezeigt. Unter der Annahme CH = 2^(2/3) ergeben die Berechnungen SR = 2 − ∛2 und RE = 2 − ∛2. Somit ist SR = RE und daraus folgt GH = HI. Zusätzlich ist CK die Quadratwurzel aus CH, wobei CH = (∛2)² = 2^(2/3).

Mechanische Geräte und spezielle Kurven

Antike mechanische Verfahren bestimmen die beiden mittleren Proportionalen. Platons zugeschriebene Methode verwendet beispielsweise zwei U-förmige, parallel geführte Lineale. Für a = BΓ und b = 2a = AB werden die Lineale so bewegt, dass x und y entstehen. Das Ergebnis lautet x = a · ∛2 und y = 2a / ∛2. Der Nachweis beruht auf ähnlichen Dreiecken und den Proportionen BΔ : BΓ = AB : BE = BE : BΔ = ∛2.

Eratosthenes beschrieb ein Mesolabium, das aus verschiebbaren rechtwinkligen Dreiecken in einem Kasten bestehen kann. Für zwei mittlere Proportionalen werden drei Dreiecke benötigt; allgemein ist die Zahl der Dreiecke um eins größer als die Zahl der gesuchten mittleren Proportionalen. Durch wiederholtes Verschieben entstehen Strecken AE, BF, CG und DH in kontinuierlicher Proportion. BF und CG sind dabei die beiden mittleren Proportionalen.

Archytas konstruierte die Proportionen mit einer räumlichen Schnittkurve. Beteiligt sind ein Halbzylinder, ein Achtel eines Horntorus und ein Kegelsegment. Der Schnittpunkt der entsprechenden Kurven liefert x und y. In der geometrischen Vorüberlegung gelten unter anderem AD′ : AM = 2 : 1 sowie AD′ : AK = AI : AM = AK : AI = y : x = ∛2. Die gesuchte Kante ist AI = x = ∛2.

Menaichmos fand eine Lösung als Schnitt zweier Parabeln. Descartes ersetzte eine der Parabeln durch einen Kreis um G = (p, q) mit Radius r = √(p² + q²); die andere Kurve ist x² = 2qy. Diokles verwendete die Zissoide mit der Gleichung x³ + xy² − 2ay² = 0. Der Schnitt einer geeigneten Geraden mit ihrem ersten Quadranten liefert v = a · ∛2. Johann Bolyai fand außerdem eine Konstruktion mit nur einer Parabel y² = a · x. Eine logarithmische Verdoppelungsspirale erfüllt dieselbe Aufgabe, weil sich ihr Radius bei einer vollständigen Umdrehung mit dem Faktor 2 ändert. Bei einer Drehung um 120° ab dem Punkt 1 ergibt sich r = 2^(1/3) = ∛2.

Origami und iterative Näherung

Auch Origami kann die Würfelverdoppelung mit einem zusätzlichen Hilfsmittel ermöglichen. Durch Faltungen eines quadratischen oder rechteckigen Blattes wird zunächst eine Strecke im Verhältnis ∛2 : 1 geteilt. Da die absoluten Längen zunächst unbekannt sind, muss anschließend eine zentrische Streckung mit der vorgegebenen Ausgangskante a₁ durchgeführt werden. Die resultierende Länge ist a₂ = a₁ · ∛2.

Für eine Näherung mit Zirkel und Lineal wird das Newtonverfahren auf f(x) = x³ − 2 angewendet. Mit dem Startwert x₀ = 1 lautet die Iteration xₙ₊₁ = xₙ − (xₙ³ − 2)/(3xₙ²) = (2xₙ³ + 2)/(3xₙ²).

Da diese Formel nur Grundrechenarten enthält, kann jeder einzelne Näherungswert konstruiert werden. Es ergibt sich x₁ = 4/3, danach x₂ = 91/72 = 1,263‾8 und x₃ = 1126819/894348 = 1,2599334934…. Das Verfahren besitzt quadratische Konvergenz und wird daher schnell genau.

Der Fehler von x₃ gegenüber ∛2 = 1,259921049… beträgt ungefähr 0,000012443 LE. Bei einer Ausgangskante von 100 m wäre die Näherungskante etwa 1,2 mm zu lang. Ein weiterer Iterationsschritt liefert x₄ = 1,259921050…; bei einer Ausgangskante von 10.000 km wäre die Abweichung dann ebenfalls nur etwa 1,2 mm. Die exakte Lösung bleibt trotzdem mit Zirkel und unmarkiertem Lineal unmöglich.