Winkelmaß

Begriff und grundlegende Messprinzipien

Ein Winkelmaß gibt die Winkelweite eines ebenen Winkels als mathematische oder physikalische Größe an. Je nach Anwendungsgebiet werden unterschiedliche Maße und Einheiten benutzt. Auf gekrümmten Flächen misst man Winkel in der Tangentialebene der Fläche.

Bei linearen Winkelmaßen bleibt der Messwert bei einer Drehung erhalten. Wird eine Drehung in zwei Teildrehungen zerlegt, ist das Maß der Gesamtdrehung gleich der Summe der beiden Teilmaße. Zu diesen Maßen gehören Vollwinkel, Grad, Radiant, Gon, Stundenmaß und Strich.

Eine nichtlineare Alternative beschreibt einen Steigungswinkel durch das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Länge. Dieses Verhältnis entspricht dem Tangens des Winkels.

Lineare Winkelmaße und Umrechnung

Der Vollwinkel ist der kleinste Winkel, um den ein Strahl um seinen Ursprung gedreht werden muss, damit er wieder seine Ausgangsrichtung erreicht. Er ist eine gesetzliche Maßeinheit ohne festgelegtes Einheitenzeichen. Winkel können als Vielfache oder Teile eines Vollwinkels angegeben werden, beispielsweise als halbe Drehung.

Die wichtigsten Unterteilungen sind:

• Gradmaß: 1 Vollwinkel = 360°. Ein Grad ist der 360. Teil eines Vollwinkels.
• Bogenmaß: 1 Vollwinkel = 2π rad. Ein Radiant ist der 1/(2π)-te Teil des Vollwinkels.
• Geodätisches Winkelmaß: 1 Vollwinkel = 400 gon. Ein Gon ist der 400. Teil des Vollwinkels.
• Zeitmaß: 1 Vollwinkel = 24 h. Es wird in der Astronomie für Stundenwinkel und Rektaszension verwendet.
• Nautischer Strich: 1 Vollwinkel = 32 Strich.
• Artilleristischer Strich: 1 Vollwinkel = 6400 Strich.

Vollwinkel und rechter Winkel sind die beiden grundlegenden geometrischen Bezugsmaße. Der Vollwinkel entspricht einem Vollkreis, der rechte Winkel einem Viertelkreis. Der rechte Winkel dient insbesondere dazu, gerade und schiefe sowie spitze und stumpfe Winkel zu unterscheiden. Bis etwa 1980 war in Deutschland auch die Einheit Rechter mit dem Zeichen ∟ gebräuchlich; der Vollwinkel ist weiterhin eine gesetzliche Maßeinheit.

Steigung als nichtlineares Winkelmaß

Bei Steigungsangaben wird der Winkel α durch den Tangens beschrieben: Steigung in Prozent = 100 · tan(α). Die Skala ist nicht linear. Zwei aufeinanderfolgende Drehungen mit jeweils 5 % ergeben deshalb nicht 10 %, sondern tan(2 · arctan(0,05)) ≈ 10,025 %.

Typische Zuordnungen sind:

• etwa 0,57° entsprechen 1 %,
• 1° entspricht etwa 1,75 %,
• etwa 5,71° entsprechen 10 %,
• etwa 8,53° entsprechen 15 %,
• 15° entsprechen 26,79… %,
• 45° entsprechen 100 %,
• bei 90° geht die Steigung gegen unendlich.

Weil die zugrunde gelegte Länge nur positiv ist und nur nach vorne gemessen wird, ist der Steigungswinkel auf −90° < α < +90° beschränkt. Prozent- und Promilleangaben werden besonders im Verkehrswesen verwendet. Allgemein kann statt eines Winkels das Längenverhältnis zweier senkrecht zueinander stehender Strecken angegeben werden; im zugehörigen rechtwinkligen Dreieck ist es der Tangens des Winkels. In der Luftfahrt wird auf diese Weise die Gleitzahl eines Flugzeuges angegeben.

Bogenmaß, Gradmaß und Stundenmaß

Das Bogenmaß ordnet dem Vollwinkel den Umfang des Einheitskreises, also 2π, zu. Ein regelmäßiges Sechseck im Kreis lässt sich in sechs gleichseitige Dreiecke zerlegen; seine Kantenlänge entspricht dem Umkreisradius. Bei Radius 1 hat das Sechseck den Umfang 6. Dieser Wert wurde früh näherungsweise für den Kreisumfang verwendet. Chinesische Naturalisten setzten in vorchristlicher Zeit 3 als Maßzahl des halben Kreisumfangs fest. Das Zhōu Bì Suàn Jīng, dessen Wurzeln auf etwa 1200 v. Chr. datiert werden, behandelt Winkelberechnungen elementarer Dreiecke über das Sechseck.

Mit dem exakten Wert 2π gelangte das Bogenmaß erst gegen Ende des 17. Jahrhunderts über den Differentialkalkül in die moderne Mathematik. Es ist die natürliche Einheit für Argumente der Sinus- und Cosinusfunktion. Nur bei Winkeln im Bogenmaß gelten Formeln wie sin′ x = cos x, die Eulersche Identität und für kleine Winkel die Näherung sin x ≈ tan x ≈ x.

Die Teilung des Vollwinkels in 360 Teile ist bei frühen griechischen Astronomen belegt und geht vermutlich auf babylonische Tradition zurück. Hypsikles von Alexandria verwendete sie 170 v. Chr. im Anaphorikos. Die Zahl 360 bot viele Teilungsmöglichkeiten und war für astronomische und kalendarische Rechnungen geeignet: Sie liegt nahe bei den 365 Tagen des Jahres und erleichtert Rechnungen mit der synodischen Mondperiode von knapp 30 Tagen sowie dem Lunarjahr von 354 Tagen. Jüdische Gelehrte etablierten das Gradmaß für Astronomie, Geodäsie und Geometrie, unter anderem auf Astrolabium, Sextant und Dioptra. In der westlichen Tradition wurde es ab dem 12. Jahrhundert weitergeführt.

Ein Grad wird sexagesimal in Winkelminuten und Winkelsekunden unterteilt. Diese Bezeichnungen gehen auf pars minuta prima und pars minuta secunda zurück. Selten kommt die veraltete Tertie als dritter verminderter Teil vor. Die Schreibweise als Dezimalgrad mit Nachkommastellen entstand erst gegen Ende des Mittelalters in Arabien.

Die Einteilung des Tages und des Vollkreises in 24 oder 12 Stunden war ebenfalls schon lange vor der Zeitenwende üblich. Das Zeitmaß mit 24 Teilen ist weiterhin sinnvoll, wenn ein Maßsystem die Erdumdrehung widerspiegelt: Aus dem Stundenwinkel lässt sich unmittelbar eine Zeit bestimmen. Beim terrestrischen Längenwinkel überlagern sich das Netz aus 360 Längengraden und die 24 Zeitzonen.

Während der französischen Metrifikation in den 1790er Jahren entstand ein Gradnetz mit 400 Einheiten, den grades nouvelles oder Neugrad. Dabei entsprachen 0,01 gr einem Kilometer, weil das Urmeter als zehnmillionster Teil des Meridianbogens vom Nordpol zum Äquator definiert war. Das daraus hervorgegangene Gon wird weiterhin in der Geodäsie, etwa bei der Triangulation, verwendet, obwohl die heutige Meterdefinition nicht mehr auf dem Erdmeridian beruht.

Peilung in Navigation und Artillerie

Durch wiederholte Halbierung des Vollkreises entstehen Halbkreis, Viertelkreis, Achtelkreis, Sechzehntelkreis und weitere Unterteilungen. Dieses Verfahren eignet sich besonders für bewegte Bezugssysteme, in denen Blick- oder Fahrtrichtung wichtig sind. Der rechte Winkel bildet dabei das Grundmaß.

In der nautischen Navigation wurde der Kreis für Positions- und Kurspeilungen in vier Hauptrichtungen – Voraus, Steuerbord, Achteraus und Backbord – sowie vier Nebenrichtungen eingeteilt. Ein Zweiunddreißigstel des Vollkreises heißt Nautischer Strich. Zusammen mit einem Kompass erhält die Windrose eine ortsfeste Ausrichtung, meist nach Norden, und wird zur Kompassrose. Heute werden Peilungen in der Schifffahrt üblicherweise im Gradmaß mit Dezimalminuten angegeben.

In der Artillerie ist eine hohe Genauigkeit beim Visieren erforderlich. Außerdem soll sich die Einteilung des Fadennetzes günstig in eine Entfernung zum anvisierten Objekt umrechnen lassen. Deshalb wird der Vollkreis in 6400 Artilleristische Striche eingeteilt. In der Schweizer Armee heißt diese nordfeste Einheit Artilleriepromille.