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Kreiszahl
Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie (siehe Bild) beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt …
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Bedeutung und Definition
Die Kreiszahl π ist eine mathematische Konstante. Sie beschreibt bei jedem Kreis das Verhältnis von Umfang U zu Durchmesser d: π = U/d. Daher hat ein Kreis mit Durchmesser 1 den Umfang π. Näherungsweise gilt π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 …; für überschlägige Rechnungen wird oft 3,14 verwendet.
Gleichwertig lässt sich π über die Kreisfläche A und den Radius r definieren: π = A/r². Damit gilt für die Kreisfläche A = πr². Das Verhältnis der Kreisfläche zur Fläche des umgebenden Quadrats mit Seitenlänge 2r ist π/4. Archimedes bewies, dass Umfangs- und Flächendefinition dieselbe Zahl liefern: U : d = A : r².
In der Analysis kann π als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert werden. Das heißt: Ist cos(x) erstmals für ein positives x gleich 0, dann ist dieses x gleich π/2.
Zahleneigenschaften und Näherungen
π ist irrational: Es lässt sich nicht als Bruch p/q zweier ganzer Zahlen schreiben. Johann Heinrich Lambert bewies dies 1761 bis 1768. Außerdem ist π transzendent, wie Ferdinand von Lindemann 1882 bewies. Transzendent bedeutet, dass π keine Nullstelle eines vom Nullpolynom verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Deshalb kann π weder durch ganze Zahlen, Brüche und Wurzeln exakt ausgedrückt noch mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden; insbesondere ist die exakte Quadratur des Kreises unmöglich.
In jedem Stellenwertsystem ist die Darstellung von π unendlich und nicht periodisch. In den bekannten Ziffernfolgen sind keine vorhersagbaren Muster erkennbar. Ob π eine normale Zahl ist, bleibt ungeklärt. Dann käme jede endliche Zifferngruppe in einer vollständigen Stellenwertdarstellung gleich häufig vor, wie es bei zufällig erzeugten Ziffern zu erwarten wäre. Untersuchungen der ersten 100 Millionen Dezimalstellen fanden keine verborgenen Muster. Der Feynman-Punkt ist eine Folge von sechs Neunen ab der 762. Dezimalstelle.
Eine weitere Darstellung ist der reguläre Kettenbruch: π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …)))). Daraus folgen besonders gute Näherungsbrüche. Wichtige Werte sind 22/7 = 3,142857… und 355/113 = 3,1415929…; bei 355/113 stimmen sechs Nachkommastellen mit π überein. Die 20. Kettenbruchnäherung 21053343141/6701487259 stimmt in 21 Nachkommastellen überein. Wie gut sich π insgesamt durch rationale Zahlen annähern lässt, also ihr exaktes Irrationalitätsmaß, ist noch nicht bekannt.
Entwicklung der Berechnung
Frühe Näherungen entstanden aus praktischen Aufgaben wie dem Berechnen von Kreisumfängen, Flächen und zylindrischen Volumina. Babylonier verwendeten etwa 1900–1600 v. Chr. π ≈ 3,125, die Ägypter im Papyrus Rhind π ≈ (16/9)² = 3,16049… . Der Wert 3 wurde ebenfalls verwendet.
Archimedes näherte um 250 v. Chr. einen Kreis mit einbeschriebenen und umbeschriebenen regelmäßigen Vielecken an. Mit bis zu 96 Seiten erhielt er 223/71 < π < 22/7. Dieses Grundprinzip liefert untere und obere Schranken: Ein einbeschriebenes Vieleck ist kleiner, ein umbeschriebenes größer als der Kreis. Liu Hui, Zu Chongzhi und andere verfeinerten es. Zu Chongzhi erreichte um 480 mit einem 12.288-Eck 3,1415926 < π < 3,1415927 und den Näherungsbruch 355/113. Al-Kaschi berechnete um 1424 mit einem Vieleck aus 3 · 2²⁸ = 805306368 Seiten 15 korrekte Nachkommastellen von 2π.
Ab dem 16. Jahrhundert ersetzten unendliche Reihen und Produkte die Vieleckmethoden zunehmend. Beispiele sind das Viète-Produkt, das Wallis-Produkt und die Leibniz-Reihe π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … . Die Leibniz-Reihe konvergiert jedoch langsam. Machins Formel π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239) ermöglichte 1706 die Berechnung von 100 Dezimalstellen.
Moderne Verfahren konvergieren wesentlich schneller. Ramanujans Reihe von 1914 liefert ungefähr 8 weitere korrekte Nachkommastellen je Iteration. Der Chudnovsky-Algorithmus von 1988 basiert auf einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe und wurde bei aktuellen Rekordberechnungen verwendet; er liefert im Mittel etwa 14,1816 Stellen pro Term. Der Rekord in der Tabelle liegt 2025 bei 314.000.000.000.000 Dezimalstellen. Die BBP-Formel von 1995 erlaubt, einzelne Binär- oder Hexadezimalstellen von π zu berechnen, ohne alle vorherigen Stellen bestimmen zu müssen.
Numerische und statistische Verfahren
π kann über Flächen angenähert werden. Für einen Kreis im umschreibenden Quadrat gilt π = 4 · A_K/A_Q. Legt man ein Gitter über einen Viertelkreis und zählt die Gitterpunkte im Kreis, erhält man 4 · (Punkte im Kreis)/(Punkte im Quadrat). Mit r = 10 ergibt diese Methode 3,16, mit r = 100 den Wert 3,1428. Die Genauigkeit wächst mit kleinerer Gitterweite, aber die Zahl der Rechenschritte wächst quadratisch.
Bei der Flächenintegration des Einheitskreises wird die Kreisfläche aus schmalen Streifen zusammengesetzt. Grundlage ist π = ∫₋₁¹ 2√(1 − x²) dx. Je schmaler die Streifen, desto genauer die Näherung.
Eine Monte-Carlo-Methode erzeugt zufällige Punkte in einem Quadrat. Der Anteil der Punkte im einbeschriebenen Viertelkreis nähert sich π/4; daher berechnet man π näherungsweise als 4 · innerhalb/gesamt. Als statistisches Verfahren hat es bei einer festen Zahl von Punkten eine Irrtumswahrscheinlichkeit, wird aber nach dem Gesetz der großen Zahlen im Mittel genauer.
Beim Buffonschen Nadelproblem werden Nadeln der Länge ℓ auf parallele Linien mit Abstand d geworfen. Sind N die Würfe und P die Fälle mit Linienschnitt, dann nähert sich N/P der Formel (π/2) · d/ℓ. Daraus kann π bestimmt werden. Rudolf Wolf erhielt mit 5000 Nadelwürfen π = 3,1596 ± 0,0518; das Verfahren ist unter anderem wegen möglicher Ablesefehler ungenau.
Formeln, Anwendungen und Grenzen
π tritt weit über die Kreisgeometrie hinaus auf. Wichtige geometrische Formeln sind U = 2πr für den Kreisumfang, A = πr² für die Kreisfläche, V = (4/3)πr³ für das Kugelvolumen, A_O = 4πr² für die Kugeloberfläche und V = πr²a für das Zylindervolumen mit Höhe a.
In der Analysis erscheinen etwa ∑ₙ₌₁∞ 1/n² = π²/6, ∫₋∞∞ e^(−x²) dx = √π und die Euler-Identität e^(iπ) + 1 = 0. In der Physik gilt für Kreisbewegungen ω = 2πf; π kommt außerdem bei Wellen, in der Heisenbergschen Unschärferelation ΔxΔp ≥ h/(4π), beim Stokesschen Gesetz F_R = 6πηrv sowie weiteren Gesetzen vor.
Auf einer Kugeloberfläche ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser von der Kreisgröße abhängig und kleiner als π. Für einen Großkreis beträgt es genau 2; nur für infinitesimal kleine Kreise ergibt sich π. Bei einem Kreis von 1 m Durchmesser auf der Erde beträgt der Fehler der ebenen Annahme etwa 10⁻¹⁵.
Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen können π wegen seiner Transzendenz nur annähern. Zusätzliche Kurven wie die Quadratrix des Hippias ermöglichen dagegen exakte Konstruktionen. Eine vorgeschlagene alternative Konstante ist τ = 2π = 6,2831853…: Sie wäre das Verhältnis von Umfang zu Radius und entspricht im Bogenmaß einem Vollwinkel.
