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Physikalische Größe
Eine physikalische Größe ist eine an einem Objekt der Physik quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines Vorgangs oder Zustands. Beispiele solcher Größen sind …
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Begriff und Grundlagen
Eine physikalische Größe ist eine an einem Objekt der Physik quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines Vorgangs oder Zustands. Beispiele sind Länge, Masse, Zeit, Stromstärke und Temperatur. Ein Objekt, das eine bestimmte Größe als Merkmal besitzt, heißt Träger dieser Größe. Die Physik beschreibt allgemeine Zusammenhänge zwischen den Größenwerten und ist dabei unabhängig von der konkreten Beschaffenheit des jeweiligen Trägers.
Ein Merkmal wird dann als physikalische Größe bezeichnet, wenn es einen Wert besitzt und das Verhältnis zweier Merkmalswerte ein reeller Zahlenfaktor ist. Der Vergleichsvorgang zur Bestimmung dieses Zahlenfaktors heißt Messung. Messbarkeit bedeutet, dass es eine eindeutige und reproduzierbare Messvorschrift für den Vergleich gibt.
Jeder konkrete Wert einer physikalischen Größe heißt Größenwert. Er wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit angegeben:
x = {x} [x]
Dabei ist x die Größe, {x} der Zahlenwert, der sich beim Vergleich mit der Einheit ergibt, und [x] eine gewählte konstante Einheit derselben Art wie x. Kurz gesagt gilt: Größe = Zahlenwert mal Einheit. Der Zahlenwert lässt sich auch durch x/[x] = {x} bestimmen. Vektorielle Größen benötigen zusätzlich zum Größenwert eine Richtung.
Für Messungen dienen Geräte wie Messschieber zur Längenmessung, Balkenwaagen zum Vergleich von Massen, Stoppuhren zur Zeitmessung, Strommesser zur Messung der Stromstärke und Thermometer zur Temperaturmessung. Im Artikel werden dafür unter anderem die Einheiten Sekunde, Ampere und Grad Celsius genannt.
Dimension, Größenart und räumliche Eigenschaften
Die Dimension beschreibt die qualitative Abhängigkeit einer physikalischen Größe von den Basisgrößen eines Größensystems. Zwei Größen haben dieselbe Dimension, wenn der Quotient ihrer Größenwerte eine reelle Zahl ist. In jeder Gleichung zwischen physikalischen Größen müssen beide Seiten dieselbe Dimension besitzen; diese Prüfung heißt Dimensionsbetrachtung oder Dimensionsanalyse.
Die Dimension einer abgeleiteten Größe wird als Potenzprodukt der Dimensionen von Basisgrößen angegeben. Zahlenfaktoren, mathematische Operationen wie Skalar- oder Vektorprodukt, Differenzialquotient und Integral sowie die Tensorstufe werden dabei nicht berücksichtigt. Im Internationalen Größensystem ist die mechanische Arbeit definiert durch W := ∫ F⃗ · dr⃗. Daraus folgt:
dim W ≡ dim F⃗ · dim r⃗ ≡ MLT⁻² · L ≡ ML²T⁻².
Die Größenart unterscheidet qualitative Eigenschaften von Größen gleicher Dimension. Der Begriff ist nicht einheitlich definiert. Nach dem Internationalen Wörterbuch der Metrologie (VIM), 3. Auflage 2010, ist sie der „Aspekt, der untereinander vergleichbaren Größen gemeinsam ist“. Die Einteilung des Oberbegriffs „Größe“ nach der Größenart ist dabei willkürlich. Größen gleicher Art können sinnvoll addiert und subtrahiert werden; außerdem gelten für sie die Ordnungsrelationen „größer“, „kleiner“ und „gleich“.
Breite, Höhe und Länge eines Quaders, der Durchmesser eines Rohrs, die Spannweite eines Vogels und die Wellenlänge gehören zur Größenart „Länge“. Die Niederschlagshöhe kann trotz ihrer Darstellung als Volumen/Fläche ebenfalls als Länge betrachtet werden; dies bleibt dem Anwender überlassen. Der Kraftstoffverbrauch „Liter pro 100 Kilometer“ besitzt dagegen die Dimension einer Fläche, wird aber gewöhnlich nicht als Größe der Größenart Fläche bezeichnet.
Physikalische Größen können Skalare, Vektoren oder Tensoren sein. Ein Skalar, also ein Tensor 0. Stufe, ist richtungsunabhängig und wird allein durch seinen Größenwert bestimmt, etwa Masse oder Temperatur. Ein Vektor beziehungsweise Tensor 1. Stufe besitzt drei Komponenten, beispielsweise Kraft oder Verschiebung. Ein Tensor 2. Stufe besitzt neun Komponenten und wird meist als 3×3-Matrix dargestellt, etwa der Trägheits- oder Verzerrungstensor. Tensoren 3. und 4. Stufe werden unter anderem durch den piezoelektrischen Tensor beziehungsweise den Elastizitätstensor vertreten. Pseudoskalare und Pseudovektoren verhalten sich bei Punktspiegelungen anders als gewöhnliche Skalare und Vektoren.
Größenwerte, Einheiten und Schreibweise
Eine Einheit ist ein festgelegter Größenwert, mit dem Größen derselben Art verglichen werden. Ihre Definition ist grundsätzlich eine menschliche Festlegung. Als Einheit kann ein bestimmtes Objekt beziehungsweise Normal dienen, ein berechneter Größenwert oder – sofern vorhanden – der Wert einer physikalischen Konstante. Theoretisch genügt eine Einheit je Größenart; historisch existieren jedoch oft mehrere Einheiten, die sich durch einen reinen Zahlenfaktor unterscheiden.
Einheitenzeichen sind festgelegte Schriftzeichen, meist lateinische Buchstaben, seltener Sonderzeichen oder griechische Buchstaben. Nach Personen benannte Einheiten beginnen üblicherweise mit einem Großbuchstaben. Formelzeichen für Größen sind grundsätzlich frei wählbar, folgen aber Konventionen, etwa aus SI, DIN 1304, ÖNORM A 6438 und ÖNORM A 6401. Sie bestehen meist aus einem Buchstaben und können Indizes tragen.
Für eine Spannung von 20 Volt gilt beispielsweise:
U = 20 V, {U} = 20, [U]SI = V.
Ein Größenwert wird formal als G = {G} [G] geschrieben. Geschweifte Klammern bezeichnen den Zahlenwert, eckige Klammern die Einheit. Da der Zahlenwert von der gewählten Einheit abhängt, sind für Tabellen und Koordinatenachsen Darstellungen wie G/[G], etwa m/kg, oder G in [G], etwa m in kg, üblich. Schreibweisen wie m [kg] oder m (kg) entsprechen nicht der DIN 1313 und werden in den Empfehlungen zum SI nicht empfohlen.
Nach DIN 1338 werden Formelzeichen kursiv und Einheitenzeichen aufrecht geschrieben. Zwischen Zahlenwert und Einheitenzeichen steht ein Leerzeichen: 23 °C. Ein Gradzeichen steht bei einem Winkel ohne Zwischenraum hinter der Maßzahl: 180°. Vektoren werden je nach Konvention durch einen Pfeil, Fettdruck oder eine Unterstreichung gekennzeichnet. Tensoren höherer Stufe können unter anderem durch serifenlose Großbuchstaben, Frakturbuchstaben oder doppelte Unterstreichung dargestellt werden.
Eine Änderung um den Faktor 10 zwischen Werten derselben Größe heißt Größenordnung; n Größenordnungen entsprechen dem Faktor 10ⁿ. Unveränderliche Größenwerte heißen Naturkonstanten, Universalkonstanten oder physikalische Konstanten, beispielsweise Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Elementarladung, Planck-Konstante und Feinstrukturkonstante.
Messunsicherheit und Zusatzangaben
Fehlerbehaftete Größenwerte werden zusammen mit ihrer Messunsicherheit oder, je nach Situation, mit Fehlergrenzen angegeben. Möglich ist beispielsweise:
l = (10,0072 ± 0,0023) m
Eine kürzere Form ist l = 10,0072(23) m. Auch die unsichere Ziffer kann durch Fettdruck markiert werden. Beginnt der Fehlerwert mit 1 oder 2, werden zwei unsichere Stellen notiert, sonst eine. Der Zahlenwert wird gegebenenfalls nach DIN 1333 gerundet; eine Fehlergrenze wird immer aufgerundet.
Zusatzinformationen dürfen nicht in den Zahlenwert oder die Einheit aufgenommen werden. Sie gehören in die Benennung oder in das Formelzeichen, zum Beispiel fU für eine Umdrehungsfrequenz oder UMotor für die Drehzahl eines Motors:
UMotor = 2000 min⁻¹.
„Umdrehung“ ist dabei keine Einheit, sondern beschreibt den Vorgang näher. Die häufige Schreibweise 2000 U/min ist daher nicht zulässig. Entsprechend lautet die korrekte Einheit der Blei-Massekonzentration beispielsweise ng/m³ mit einem geeigneten Index am Formelzeichen, nicht „ng Blei/m³“. Für den Neutronenfluss wird cm⁻² s⁻¹ angegeben, nicht „Neutronen pro Quadratzentimeter und Sekunde“. Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist A/m, nicht Ampere-Windungen pro Meter.
Größengleichungen und Rechenregeln
Eine Größengleichung ist die mathematische Darstellung eines Naturgesetzes oder technischen Zusammenhangs. Ihre Formelzeichen stehen für physikalische Größen und ihre Gültigkeit ist unabhängig von den gewählten Einheiten. Ein Beispiel ist das zweite Newtonsche Gesetz:
F⃗ = m · a⃗.
Für m = 75 kg und a = 10 m/s² ergibt sich F = 750 N = 750 kg·m/s²; dabei gilt 1 N = 1 kg·m/s². Zur Auswertung ersetzt man jedes Formelzeichen durch Zahlenwert mal Einheit.
Addition und Subtraktion sind nur bei Größen derselben Größenart möglich. Die Einheiten müssen vorher angeglichen werden:
2 km + 300 m = 2000 m + 300 m = 2300 m.
Multiplikation und Division sind grundsätzlich möglich. Dabei werden Zahlenwerte und Einheiten getrennt multipliziert oder dividiert. Beispiele sind M = r·F = 2 m · 3 N = 6 Nm und v = s/t = 3 m/2 s = 1,5 m/s. Potenzen, negative und gebrochene Exponenten sind ebenfalls möglich: (2 m)³ = 8 m³ und (2 s)⁻¹ = 0,5 s⁻¹. Bei Vorsätzen wird der Exponent auf die gesamte Einheit angewendet: 1 km² = 1·(1000 m)² = 1 000 000 m².
Transzendente Funktionen wie exp, log, sin, cos und tanh dürfen nur Größen der Dimension Eins als Argument haben; ihr Funktionswert ist ebenfalls dimensionslos. Differential- und Integralrechnung ist möglich, wobei das Differential dieselbe Größenart wie die Größe besitzt. Die Dimensionsanalyse erkennt unsinnige oder falsch dargestellte Rechenoperationen und kann zur Prüfung unbekannter Gesetzmäßigkeiten dienen.
Zahlenwertgleichungen verwenden Formelzeichen ausschließlich als Zahlenwerte bestimmter Einheiten. Sie gelten daher nur mit diesen Einheiten. Ein Beispiel ist die Windchill-Gleichung:
WCT = 13,12 + 0,6215 T − 11,37 v⁰·¹⁶ + 0,3965 T v⁰·¹⁶,
wobei WCT die Windchill-Temperatur in Grad Celsius, T die Lufttemperatur in Grad Celsius und v die Windgeschwindigkeit in Kilometer pro Stunde bezeichnet. Solche Formeln sind oft historisch, empirisch oder als Faustformeln entstanden. Grundsätzlich sind Größengleichungen vorzuziehen; Zahlenwertgleichungen sollten erst bei der abschließenden numerischen Auswertung verwendet werden.
Größensysteme, besondere Größen und Maßsysteme
Ein Größensystem ist ein beschränkter Satz physikalischer Größen, die über Naturgesetze miteinander verknüpft sind. Basisgrößen werden unabhängig voneinander festgelegt; abgeleitete Größen lassen sich als Potenzprodukte der Basisgrößen darstellen. Die Zahl der Basisgrößen bestimmt den Grad des Größensystems. Das Internationale Größensystem (ISQ) besitzt sieben Basisgrößen. In vielen mechanischen Systemen sind Strecke s, Masse m und Zeit t grundlegend. Im ISQ ist zusätzlich die elektrische Stromstärke I eine Basisgröße; die elektrische Ladung Q ist dort abgeleitet. Im gaußschen Einheitensystem kann eine vierte Basisgröße für die Elektrodynamik entfallen.
Ein Einheitensystem besteht entsprechend aus Basiseinheiten und abgeleiteten Einheiten. Es ist kohärent, wenn abgeleitete Einheiten ohne zusätzliche Zahlenfaktoren aus den Basiseinheiten gebildet werden. Das weltweit verwendete SI ist ein kohärentes Einheitensystem siebten Grades und beruht auf dem ISQ. Das SI definiert außerdem Vorsätze für Vielfache und Teile von Einheiten; diese gehören wegen der Kohärenz nicht zum eigentlichen Einheitensystem.
Quotienten aus Größen bilden neue Größen. Bei gleicher Größenart heißt der Quotient Verhältnisgröße, sonst Quotientengröße. Bezieht sich die Nennergröße auf dasselbe Objekt, spricht man von einer bezogenen Größe. „Spezifisch“ bezieht sich auf die Masse, „molar“ auf die Stoffmenge, „-dichte“ auf Volumen, Fläche oder Länge und „-rate“ beziehungsweise „-geschwindigkeit“ auf eine Zeitspanne. Verhältnisgrößen haben grundsätzlich die Einheit Eins und können beispielsweise in %, ‰ oder ppm angegeben werden. 1 % = 0,01, 1 ‰ = 0,001 und 1 ppm = 0,000001. Als Beispiel gilt: 30 % mal 30 % dürfen nicht als 900 % interpretiert werden; mit dimensionslosen Anteilen 0,3·0,3 ergibt sich dagegen 0,09.
Feldgrößen beschreiben physikalische Felder. In linearen Systemen ist ihr Quadrat proportional zu einer Leistungsgröße. Daher gilt F₁²/F₂² = P₁/P₂. Logarithmierte Verhältnisse heißen Pegel oder Maß; der natürliche Logarithmus wird mit Neper (Np), der dekadische mit Bel (B) oder häufiger Dezibel (dB) angegeben.
In der Thermodynamik beschreiben Zustandsgrößen Eigenschaften eines Systemzustands. Extensive Größen wie Masse und Stoffmenge verdoppeln sich bei Verdopplung des Systems, intensive Größen wie Temperatur und Druck bleiben konstant. Prozessgrößen beschreiben Übergänge zwischen Zuständen, insbesondere Arbeit W und Wärme Q; sie werden häufig als Differentiale mit δ oder đ geschrieben.
Praktisch verwendet werden unter anderem das MKSA-System mit Meter, Kilogramm, Sekunde und Ampere, das cgs-System mit Zentimeter, Gramm und Sekunde sowie Varianten für elektromagnetische Größen und das Hochenergie-System, in dem Größen in Potenzen der Energieeinheit eV angegeben werden. Im Hochenergie-System werden c und die reduzierte Planck-Konstante ħ durch Eins ersetzt. Die Naturgesetze können in verschiedenen Maßsystemen formal unterschiedlich aussehen, bleiben physikalisch aber invariant. Maßgebliche Normen sind DIN 1301 für Einheiten, DIN 1313 für Größen sowie EN 80000 beziehungsweise EN ISO 80000 für Größen und Einheiten.
