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Radiant (Einheit)
Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird.
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Bedeutung und Definition
Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß für ebene Winkel. Er gibt einen Winkel über die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis an; deshalb heißt diese Angabe auch Bogenmaß oder Bogenwinkel. Ein Winkel von 1 rad spannt auf einem Kreis einen Kreisbogen ab, dessen Länge dem Radius entspricht.
Gleichwertig lässt sich der Radiant als Verhältnis von Kreisbogenlänge zu Radius definieren. Dies ist möglich, weil die Bogenlänge bei einem festen Winkel proportional zum Radius ist. Da für einen Vollkreis mit Radius r die Länge U = 2πr gilt, entspricht der Vollwinkel 2π rad beziehungsweise 360°.
Der Radiant ist die SI-Einheit für den ebenen Winkel. Seine Dimension ist 1; in SI-Einheiten wird 1 rad = 1 m / 1 m = 1 angegeben. In Physik und Mathematik ist das Bogenmaß für viele Berechnungen besonders zweckmäßig.
Umrechnung von Grad und Radiant
Aus 2π rad = 360° folgen die grundlegenden Umrechnungsfaktoren:
- 1 rad = 180° / π ≈ 57,2958°
- 1° = π / 180 rad ≈ 0,017 453 rad
Wichtige Werte sind 180° = π rad, 90° = π/2 rad und 45° = π/4 rad. Außerdem gilt ungefähr 1 rad = 57° 17′ 45″, 1° = π/180 ≈ 17,453 mrad, 1 mrad = 0,001 rad ≈ 3,44′ und 1″ = 4,85 μrad.
Beispiele: 3π/2 rad = 270°. Umgekehrt ist 45° = π/4 rad.
Radiant im SI und in Formeln
Im Internationalen Einheitensystem ist der Radiant der besondere Name für die kohärente abgeleitete SI-Einheit m/m. Er kann mit Vorsätzen verwendet werden, zum Beispiel mrad für Milliradiant und μrad für Mikroradiant.
Bei der Einführung des SI 1960 waren Radiant und Steradiant zunächst „ergänzende Einheiten“. 1980 empfahl das Internationale Komitee für Maß und Gewicht (CIPM), beide als abgeleitete Einheiten zu deuten. Die 20. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) hob die Klasse der ergänzenden Einheiten 1995 auf. Heute zählen ebener Winkel und Raumwinkel „aus historischen Gründen und per Konvention“ zu den Größen mit der Einheit 1 und werden wie abgeleitete Größen behandelt; der Radiant wird auch Hilfsmaßeinheit genannt.
Die Schreibweise rad = m/m kann irreführend sein, weil ein Winkel nicht dieselbe Art von Größe wie andere Längenverhältnisse ist. Daher wird rad in Physik und Technik grundsätzlich mitgeschrieben, etwa bei der Winkelgeschwindigkeit rad·s⁻¹, nicht nur s⁻¹ und keinesfalls Hz. In der Mathematik lässt man „rad“ meist weg. Fehlt bei einer Winkelangabe das Zeichen °, ist gewöhnlich das Bogenmaß gemeint. In Formeln wie sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − ··· wird x als Zahl behandelt.
Nutzung in Taschenrechnern und Programmen
Wissenschaftliche Taschenrechner können Winkelfunktionen meist in Grad, Radiant und teilweise auch Gon berechnen. Beim Gon umfasst der Vollwinkel 400 gon. Die Betriebsarten heißen gewöhnlich DEG für Grad, RAD für Bogenmaß sowie GRD, GRA oder GRAD für Gon; oft lassen sie sich mit einer DRG-Taste umschalten.
Mathematische Bibliotheken von Programmiersprachen und Tabellenkalkulationsprogramme verwenden für Winkelfunktionen in der Regel das Bogenmaß. Gradangaben müssen deshalb meist zuvor in Radiant umgerechnet werden.
