Prozent

Bedeutung und Definition

Prozentangaben stellen Größenverhältnisse einheitlich als Anteile von hundert dar. Dadurch lassen sich Anteile leicht veranschaulichen und vergleichen. Das Prozent ist eine Hilfsmaßeinheit für Verhältnisgrößen; sein Zeichen ist %. Ein Prozent ist ein Hundertstel:

1 % = 1/100 = 0,01

Allgemein gilt:

p % = p · 1/100 = p/100

Eine Prozentangabe kann daher als Bruch oder Dezimalzahl geschrieben werden, zum Beispiel 19 % = 19/100 = 0,19. Entsprechend sind 100 % = 1, 75 % = 3/4 = 0,75 und 50 % = 1/2 = 0,5. In einer Fläche aus 10 × 10 gleich großen Kästchen entspricht ein Kästchen genau 1 % der Gesamtfläche.

Nach DIN 5008 steht zwischen Zahl und Prozentzeichen ein Leerzeichen, etwa 63,7 %. Im Computersatz sollte es ein geschütztes Leerzeichen sein, damit Zahl und Zeichen nicht getrennt werden. Mit einer Nachsilbe wird zusammengeschrieben, etwa „15%ige Steigung“; besser lesbar sind „15-prozentige Steigung“ oder „fünfzehnprozentige Steigung“. Bei 1 % wird der Singular verwendet, bevorzugt „ein Prozent“, bei anderen Werten der Plural. Die ältere Bezeichnung „vom Hundert“ mit den Abkürzungen „vH“ oder „v. H.“ soll nach Empfehlung des Deutschen Instituts für Normung vermieden werden.

Grundbegriffe und Formeln

Jede Prozentrechnung bezieht sich auf einen Grundwert G. Er ist die Ausgangsgröße und entspricht 100 %. Der Prozentwert W ist der absolute Anteil am Grundwert und besitzt dieselbe Einheit wie dieser. Der Prozentfuß p, auch Prozentzahl genannt, ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz p % bezeichnet das Verhältnis zum Grundwert.

Die Grundformel lautet:

W/G = p/100

Daraus folgen die drei wichtigsten Rechenformeln:

• Prozentwert: W = G · p/100 • Prozentfuß: p = W · 100/G • Grundwert: G = W · 100/p

Als Prüfformel gilt G · p/W = 100. Gleichwertig kann man mit dem Prozentsatz als Zahl schreiben: p % = W/G, W = p % · G und G = W/(p %).

Beispiel: 7.350 Einwohner sind 49 % von 15.000 Einwohnern. Dabei sind 15.000 Einwohner der Grundwert, 49 der Prozentfuß, 49 % der Prozentsatz und 7.350 Einwohner der Prozentwert.

Der Ausdruck „Prozentsatz“ wird in der Literatur nicht einheitlich gebraucht: Manche Autoren meinen damit p %, andere nur p. Zur klaren Unterscheidung kann p als Prozentfuß und p % als Prozentsatz bezeichnet werden. Entscheidend ist außerdem stets die Frage, auf welchen Grundwert sich die Angabe bezieht. Wie „ein Halbes“ oder „ein Viertel“ beschreibt eine Prozentangabe kein absolutes Maß, sondern ein Verhältnis: 50 % bedeuten die Hälfte eines bestimmten Grundwertes, 25 % ein Viertel und 23 % genau 23 Hundertstel.

Rechenwege und Anteilsberechnung

Prozentaufgaben lassen sich mit den allgemeinen Formeln, einer Verhältnisgleichung oder dem Dreisatz lösen. Beim Dreisatz wird häufig zuerst ermittelt, welcher Wert 1 % entspricht, und anschließend auf 100 % oder den gesuchten Prozentsatz hochgerechnet. Der Vorteil der Formel ist, dass sie für alle Aufgaben gilt. Proportion und Dreisatz ermöglichen die Rechnung ohne auswendig gelernte Formel und eignen sich auch zum Kopfrechnen.

Beispiel: 42 kg entsprechen 7 %. Gesucht ist der Grundwert, also 100 %. Mit der Formel ergibt sich:

G = W/(p %) = 42 kg/(7/100) = 42 · 100/7 kg = 600 kg

Mit dem Dreisatz erhält man dasselbe Ergebnis: Wenn 7 % gleich 42 kg sind, entspricht 1 % dem Wert 42 kg : 7 = 6 kg. Somit entsprechen 100 % dem Wert 6 kg · 100 = 600 kg.

Taschenrechner verschiedener Hersteller und Bauarten verarbeiten Eingaben über die Prozenttaste unterschiedlich. Deshalb können Ergebnisse oder Bedienfolgen verwirrend sein. Als eindeutige Alternativen eignen sich die Umwandlung des Prozentsatzes in eine Dezimalzahl, die genannten Formeln oder der Dreisatz.

Änderungen, Prozentpunkte und Folgen

Bei Veränderungen muss genau zwischen „um“ und „auf“ unterschieden werden. Eine Steigerung um p % bedeutet eine Multiplikation mit dem Faktor

St = 1 + p/100.

Eine Steigerung um 5 % verwendet also den Faktor 1,05 und führt auf 105 % des Ausgangswertes. Eine Steigerung auf 105 % beschreibt dagegen unmittelbar diesen neuen Anteil.

Eine Verminderung um p % entspricht dem Faktor

F = 1 − p/100.

Eine Verminderung um 5 % verwendet den Faktor 0,95 und führt auf 95 % des Ausgangswertes.

Beim Vergleich zweier Prozentsätze sind Prozentpunkte und prozentuale Veränderung zu unterscheiden. Steigt ein Wahlergebnis von 4 % auf 5 %, beträgt die einfache Differenz einen Prozentpunkt. Bezogen auf den Ausgangsprozentsatz von 4 % ist es dagegen eine Steigerung um 25 %, denn 5 % sind 125 % von 4 %. Ein Basispunkt ist bei Zinssätzen der hundertste Teil eines Prozentpunktes.

Mehrere prozentuale Änderungen werden nacheinander mit ihren Faktoren verrechnet. Eine Erhöhung und anschließende Verringerung um denselben von null verschiedenen Prozentsatz heben sich nicht auf, weil die zweite Änderung einen neuen Grundwert verwendet. Für Ausgangswert A und Ergebnis E gilt:

E = A · (1 + p/100) · (1 − p/100) = A · (1 − p²/10000)

Werden 100 Euro zunächst um 10 % erhöht und danach um 10 % vermindert, erhält man 100 · 1,1 · 0,9 = 99 Euro. Wegen der Kommutativität der Multiplikation gilt dasselbe bei umgekehrter Reihenfolge.

Umsatzsteuer und präziser Sprachgebrauch

Bei der Umsatzsteuer ist der Nettobetrag der Grundwert. Die Umsatzsteuer ergibt sich aus dem Nettobetrag multipliziert mit dem Umsatzsteuersatz; der Bruttobetrag ist die Summe aus Nettobetrag und Umsatzsteuer:

Umsatzsteuer = Nettobetrag · Umsatzsteuersatz Bruttobetrag = Nettobetrag + Umsatzsteuer Bruttobetrag = Nettobetrag · (1 + Umsatzsteuersatz)

Bei 100 Euro netto und 19 % Umsatzsteuersatz beträgt die Umsatzsteuer 100 Euro · 0,19 = 19 Euro. Der Bruttobetrag beträgt damit 119 Euro beziehungsweise 100 Euro · 1,19.

Aus einem Bruttobetrag wird der Nettobetrag folgendermaßen berechnet:

Nettobetrag = Bruttobetrag/(1 + Umsatzsteuersatz)

Die enthaltene Umsatzsteuer ist Bruttobetrag − Nettobetrag. Die Aussage „19 % des Rechnungsbetrages sind Umsatzsteuer“ ist deshalb falsch: 19 % von 119 Euro wären 22,61 Euro, tatsächlich sind 19 Euro enthalten. Diese entsprechen rund 15,97 % des Bruttobetrags.

Auch gleiche Prozentsätze können unterschiedliche Prozentwerte ergeben. Steigt ein Taschengeld von 10 Euro um 50 % auf 15 Euro, beträgt die Erhöhung 5 Euro, weil sich die 50 % auf 10 Euro beziehen. Sind dagegen 50 % eines gesamten Taschengeldes von 15 Euro ein Zuschuss, beträgt dieser 7,50 Euro. Für eine korrekte Aussage muss der Grundwert daher immer eindeutig sein.

Besondere Anwendungen

Bei Steigungen bezeichnet die Prozentangabe das Verhältnis von Höhenunterschied zu waagerechter Strecke. Eine Steigung von 10 % bedeutet 10 m Höhenunterschied auf 100 m horizontaler Strecke und entspricht ungefähr 5,7°. Eine Steigung von 100 % entspricht einem Winkel von 45°, nicht 90°. Die Umrechnung erfolgt mit

α = arctan(p/100).

Beispielsweise entsprechen 1 % etwa 0,57°, 20 % etwa 11,31 %, 50 % etwa 26,57° und 200 % etwa 63,43°. Im Straßenverkehr nennt ein entsprechendes Schild die maximale, nicht die durchschnittliche Steigung des folgenden Streckenabschnitts.

Bei Stoffgemischen muss angegeben werden, worauf sich eine Prozentangabe bezieht. „Gramm pro 100 Gramm“ kann Gramm eines Stoffes pro 100 g Lösungsmittel oder pro 100 g fertiger Lösung meinen. Außerdem sind Massenanteil und Volumenanteil zu unterscheiden. Bei verschiedenen Dichten liefern sie unterschiedliche Werte. Alkohol in Getränken wird in Volumenprozent (% Vol.) angegeben. Weil Alkohol eine Dichte von ungefähr 0,8 g/cm³ und Wasser von ungefähr 1 g/cm³ besitzt, sind bei einem Getränk mit 50 % Vol. Alkohol nur 44,4 % der Masse Alkohol.

Verwandte Begriffe verwenden andere Bezugssysteme: Promille beziehen sich auf 1000 statt auf 100. Prozentränge oder Perzentile teilen eine statistische Verteilung in 100 anteilsgleiche Teile. Im Eisenbahnwesen bezeichnet „Bremshundertstel“ das Bremsvermögen von Schienenfahrzeugen.