Grad (Winkel)

Definition und Bedeutung

Der Grad, auch Bogengrad genannt, ist eine Maßeinheit für ebene Winkel. Sein Einheitenzeichen ist ein hochgestellter kleiner Kreis (°). Dieses Zeichen wird ohne Zwischenraum direkt an den Zahlenwert angehängt, zum Beispiel 90°.

Ein Grad ist als der 360. Teil eines Vollwinkels definiert. Daher gilt:

• 1 Vollwinkel = 360° • 1° = π/180 rad ≈ 0,017 5 rad

Die Angabe einer Winkelweite in Grad heißt Gradmaß. Sie wird damit von anderen Winkelmaßen unterschieden, insbesondere vom Bogenmaß, dessen Einheit der Radiant (rad) ist. Winkel werden häufig mit griechischen Buchstaben wie α, β oder γ bezeichnet.

Der Grad gehört nicht zum Internationalen Einheitensystem (SI), ist aber zum Gebrauch mit dem SI zugelassen. Dadurch ist er eine gesetzliche Maßeinheit. Seine physikalische Dimension ist L/L = 1, weil ein Winkel als Verhältnis zweier Längen beschrieben werden kann und somit dimensionslos ist.

Darstellung und Umrechnung

Bruchteile eines Grades können dezimal oder sexagesimal angegeben werden. Bei der dezimalen Darstellung stehen die Bruchteile hinter dem Komma, beispielsweise in der Form ggg,g…°.

Bei der sexagesimalen Darstellung wird ein Grad in Winkel- oder Bogenminuten und -sekunden unterteilt. Die Schreibweise lautet ggg° mm′ ss,s…″. Dabei gilt:

• 1° = 60′ • 1′ = 60″

Früher konnten Sekunden weiter in Tertien unterteilt werden, wobei 1 Sekunde = 60 Tertien galt. Diese Unterteilung ist heute gänzlich außer Gebrauch.

Für Winkel größer oder gleich 0 wird eine sexagesimale Angabe mit ggg Grad, mm Minuten und ss,s Sekunden folgendermaßen in Dezimalgrad umgerechnet:

Grad (dezimal) = ggg + (mm + ss,s/60)/60

Bei der umgekehrten Umrechnung von Dezimalgrad in die sexagesimale Darstellung gelten für Winkel größer oder gleich 0 die Formeln:

ggg = ⌊Grad⌋ mm = ⌊60 · frac(Grad)⌋ ss,s… = 60 · frac(60 · frac(Grad))

Dabei bezeichnet ⌊x⌋ den ganzzahligen Anteil einer Zahl, auch Gaußklammer genannt. frac(x) bezeichnet ihren Nachkommaanteil.

Vorteile der Einteilung in 360 Grad

Die Zahl 360 ist eine hochzusammengesetzte Zahl. Sie besitzt besonders viele Teiler. Deshalb lässt sich ein Vollwinkel von 360° auf zahlreiche Arten in gleich große Abschnitte mit ganzzahligen Gradwerten zerlegen. Das ist beispielsweise nützlich, wenn ein Kreis oder Winkel ohne Bruchteile halbiert, gedrittelt, geviertelt oder in viele andere gleich große Teile aufgeteilt werden soll.

Die 24 Teiler von 360 sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 und 360.