Linearität (Mathematik) – einfach erklärt

Grundidee der Linearität

Linearität bezeichnet in der Mathematik eine Eigenschaft, die ursprünglich mit Linien zusammenhängt. Der Begriff wird vor allem bei Räumen verwendet, in denen Geraden eine Rolle spielen, sowie bei Abbildungen zwischen solchen Räumen, die deren lineare Struktur erhalten. Linearität kann auch allgemeiner gemeint sein, wenn Objekte in einer Reihe angeordnet werden können, ohne dass es sich um Punkte einer geometrischen Geraden handelt.

Zentrale mathematische Bedeutungen

Ein Vektorraum ist ein mathematischer Raum, dessen definierende Struktur als linear bezeichnet wird; deshalb spricht man auch von einem linearen Raum.

Eine Abbildung zwischen linearen Räumen heißt linear, wenn sie die lineare Struktur dieser Räume erhält. Solche Abbildungen werden lineare Abbildungen genannt.

Bei einer geordneten Menge bedeutet Linearität, dass je zwei Elemente miteinander vergleichbar sind. Eine solche Ordnung heißt lineare Ordnung.

Weitere Verwendungen und wichtige Abgrenzung

Der Begriff tritt in verschiedenen mathematischen Gebieten auf:

Bei der linearen Optimierung gibt es eine lineare Zielfunktion.
In einem linearen Gleichungssystem Ax=b bezieht sich die Linearität auf die Abbildung x↦Ax, wobei A eine Matrix ist.
Bei einer linearen gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung ist der zugehörige Differentialoperator linear.
In einer linearen Gruppendarstellung werden Gruppenelemente als lineare Abbildungen dargestellt.
In der linearen temporalen Logik bezieht sich Linearität auf die lineare Anordnung der Zeit.
Bei einem linearen Graphen sind die Knoten so angeordnet, dass sie alle auf einem Pfad liegen.
Bei der linearen Regression bedeutet Linearität, dass die zu erklärende Zielgröße affin-linear von der Einflussgröße abhängt. Bei mehreren Einflussgrößen wird in diesem Zusammenhang auch von einem linearen Modell oder einem linearen Prädiktor gesprochen.

Wichtig für die Schulmathematik ist die Unterscheidung zwischen einer linearen Funktion und einer linearen Abbildung im Sinn der linearen Algebra. Die Funktion f(x)=mx+n ist für n≠0 keine lineare Abbildung, sondern eine affine Abbildung.