Sphärische Trigonometrie

Gegenstand und Grundbegriffe

Die sphärische Trigonometrie ist ein Teilgebiet der sphärischen Geometrie beziehungsweise Kugelgeometrie. Sie berechnet vor allem Seitenlängen und Winkel in Kugeldreiecken. Wichtig ist sie unter anderem für Entfernungs-, Richtungs- und Flächenberechnungen auf der Erdoberfläche, die Bestimmung der Position von Gestirnen, die Astrometrie sowie die Verebnung und Näherungsberechnung auf dem Erdellipsoid.

Ein Kugeldreieck entsteht, wenn drei Punkte der Kugeloberfläche, die nicht alle auf einem Großkreis liegen, durch drei Großkreise verbunden werden. Die Punkte sind die Ecken, die Großkreisbögen die Seiten. Aus drei solchen Großkreisen entstehen acht Kugeldreiecke und sechs Schnittpunkte, nämlich die Endpunkte von drei Kugeldurchmessern.

Die Länge einer Kugeldreiecksseite ist als zugehöriger Mittelpunktswinkel definiert. Ein Großkreisbogen, der ein Viertel eines Großkreises ausmacht, hat daher die Länge 90° beziehungsweise π/2 im Bogenmaß. Ein Innenwinkel ist der Winkel zwischen den beiden Tangenten im Scheitel; er entspricht dem Winkel zwischen den Ebenen der beiden beteiligten Großkreise. Die Winkel α, β und γ liegen in den Eckpunkten A, B und C; im mathematischen Teil werden sie im Bogenmaß verwendet.

Spezielle Kugeldreiecke und Grundregeln

Bei einem rechtwinkligen Kugeldreieck beträgt ein Winkel 90°. Für γ = π/2 gilt unter anderem

cos c = cos a · cos b, sin a = sin c · sin α, sin b = sin c · sin β, cos α = cos a · sin β, cos β = cos b · sin α, cos c = cot α · cot β.

Weitere Beziehungen sind sin a = tan b · cot β, sin b = tan a · cot α, cos α = tan b · cot c, cos β = tan a · cot c, tan a = tan c · cos β und tan b = tan c · cos α. Die erste Formel ersetzt im Kugeldreieck den Satz des Pythagoras der ebenen Geometrie.

Diese Beziehungen werden in der Neper-Regel zusammengefasst: Ordnet man die Stücke eines Kugeldreiecks auf einem Kreis an, streicht den rechten Winkel weg und ersetzt die Katheten durch ihre Komplemente, dann ist der Kosinus eines Stückes gleich dem Produkt der Kotangens der anliegenden Stücke oder gleich dem Produkt der Sinus der gegenüberliegenden Stücke.

Bei einem rechtsseitigen Kugeldreieck ist eine Seite 90° lang, im Artikel c = π/2. Beispiele für die daraus folgenden Beziehungen sind cos a = −tan β · cot γ, cos a = cos α · sin b, sin α = tan β · cot b und cos γ = −cot a · cot b. Auch diese Formeln entstehen mit der Neper-Regel; anliegende Winkel werden durch Komplementwinkel und der gegenüberliegende Winkel durch den Supplementwinkel ersetzt.

Sätze für beliebige Kugeldreiecke

Für die allgemeinen Formeln bezeichnet r den Kugelradius, s = (a + b + c)/2 den Halbumfang und σ = (α + β + γ − 180°)/2 den halben Exzess.

Die Winkelsumme eines sphärischen eulerschen Dreiecks erfüllt α + β + γ = A/r² + π, wobei A die Dreiecksfläche ist. Auf der Einheitskugel liegt die Winkelsumme je nach Größe zwischen π und 3 · π, also zwischen 180° und 540°. Bei nicht eulerschen Dreiecken kann sie bis zu 5 · π beziehungsweise 900° betragen.

Der Sinussatz lautet sin a / sin α = sin b / sin β = sin c / sin γ. Das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels ist konstant und heißt Modulus des Dreiecks.

Der Seiten-Kosinussatz enthält beispielsweise cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α. Zyklisch vertauscht gelten entsprechende Gleichungen für b und c. Der Winkel-Kosinussatz lautet beispielsweise cos α = −cos β · cos γ + sin β · sin γ · cos a; auch für β und γ gelten entsprechende Gleichungen. Daneben gibt es den Sinus-Kosinus-Satz, den Tangenssatz, den Kotangenssatz, die Neperschen Gleichungen sowie die Delambreschen, auch Mollweidschen oder Gaußschen, Gleichungen. Der Tangenssatz enthält etwa [tan((a+b)/2)]/[tan((a−b)/2)] = [tan((α+β)/2)]/[tan((α−β)/2)].

Die Halbwinkelsätze bestimmen beispielsweise sin(α/2) = √[sin(s−b) · sin(s−c) / (sin b · sin c)] und cos(α/2) = √[sin(s) · sin(s−a) / (sin b · sin c)]. Für die Tangensform gilt tan(α/2) = tan ρ / sin(s−a), wobei ρ der Inkreisradius ist. Die Halbseitensätze verwenden den halben Exzess σ und den Umkreisradius ρ; beispielsweise gilt sin(a/2) = √[−cos σ · cos(σ−α) / (sin β · sin γ)] und tan(a/2) = tan ρ · cos(σ−α).

Für den Flächeninhalt wird der sphärische Exzess ε = α + β + γ − π verwendet. Die absolute Fläche ist A = ε · r². L’Huiliers Formel bestimmt den Exzess über tan(ε/4) = √[tan(s/2) · tan((s−a)/2) · tan((s−b)/2) · tan((s−c)/2)].

Übergang zur ebenen Trigonometrie

Nimmt ein Kugeldreieck nur einen kleinen Teil der Kugeloberfläche ein, kann die Krümmung weitgehend vernachlässigt werden. Dann gehen die Sätze der sphärischen Trigonometrie in die Sätze der ebenen Trigonometrie über.

Aus cos c = cos a · cos b wird für ein rechtwinkliges Dreieck der Satz des Pythagoras. Weil für kleine Winkel sin a ≈ a gilt, geht der sphärische Sinussatz in den ebenen Sinussatz über. Der Seiten-Kosinussatz wird zum ebenen Kosinussatz, während der Winkel-Kosinussatz in den Satz von der Winkelsumme für ebene Dreiecke übergeht. Für die Verebnung von Kugeldreiecken verweist der Artikel auf den Satz von Legendre.

Astronomische Koordinaten und Zeitmessung

In der Astronomie wird die Erde als Kugel betrachtet, die von der Himmelskugel umgeben ist. Der Erdäquator wird zum Himmelsäquator projiziert, die Erdachse zur Weltachse verlängert. Der Zenit liegt am Himmel genau über dem Beobachter, der Nadir ist sein Gegenpunkt. Der wahre Horizont ist eine Ebene, die beide Kugeln halbiert; der scheinbare Horizont ist die Tangentialebene an die Erdkugel am Beobachtungsort. Wegen der großen Entfernung der Sterne sind beide Horizonte praktisch identisch.

Der Himmelsmeridian verläuft durch Zenit und beide Himmelspole. Sterne beschreiben durch die Erdrotation Kreisbahnen und legen pro Sterntag 360° zurück. Zirkumpolarsterne sind von einem Ort aus immer sichtbar. Die Größe des Zirkumpolarbereichs entspricht, vom Pol weg gemessen, dem Breitengrad des Beobachters. An einem Pol gibt es nur Zirkumpolarsterne, am Äquator keine. Der Tagbogen eines Sterns reicht vom Aufgangspunkt bis zum Untergangspunkt; sein Schnitt mit dem Meridian ist der obere Kulminationspunkt. Zirkumpolarsterne besitzen zusätzlich einen unteren Kulminationspunkt.

Im Horizontsystem liegt der Grundkreis in der Beobachterebene. Die Höhe beträgt am Horizont 0°, im Zenit 90° und im Nadir −90°. Die Zenitdistanz ist 90° minus Höhe. Das Azimut ist der Winkel zwischen Himmelsmeridian und Vertikalebene des Gestirns; es wird vom Südpunkt aus im Uhrzeigersinn von 0 bis 360° gemessen. Die Polhöhe entspricht der geografischen Breite. Theodolit und Sextant nutzen Eigenschaften dieses Systems.

Im Äquatorsystem ist der Himmelsäquator der Grundkreis. Die Deklination liegt zwischen 90° am Himmelsnordpol und −90° am Himmelssüdpol. Die Rektaszension wird vom Frühlingspunkt aus entlang des Himmelsäquators entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Der Stundenwinkel wird vom Schnittpunkt von Himmelsäquator und Himmelsmeridian im Uhrzeigersinn von 0° bis 360° beziehungsweise 0 h bis 24 h gezählt. Das nautische Dreieck mit den Ecken Pol, Zenit und scheinbarem Sternort dient mithilfe von Sinus- und Kosinussatz zur Umrechnung beider Systeme.

Ein Sonnentag ist die Zeit von einer Sonnenkulmination bis zur nächsten. Ein Sterntag beginnt mit dem oberen Meridiandurchgang des Frühlingspunktes und dauert 23 h 56 min; pro Jahr gibt es einen Sterntag mehr. Die Jahreszeiten entstehen durch die Neigung der Erdachse zur Bahnebene um 23° 27′. Zur Tagundnachtgleiche geht die Sonne genau im Osten auf und im Westen unter. Aus Polhöhe und Sonnendeklination lassen sich Sonnenuntergangszeit und -ort berechnen.

Die wahre Ortszeit ist der Stundenwinkel der wahren Sonne weniger zwölf Stunden. Wegen der nicht kreisförmigen Erdbahn und der Achsenneigung schwankt sie gegenüber der mittleren Ortszeit. Die Differenz heißt Zeitgleichung und ist viermal im Jahr 0. Ortszeitunterschiede führen zu internationalen Zeitzonen; die Ortszeit am Nullmeridian heißt Greenwich Mean Time beziehungsweise Weltzeit.

Die Sternzeit ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes. Eine Sternzeitstunde entspricht 15°, 24 Stunden entsprechen 360°. Da der Frühlingspunkt ein gedachter Punkt ist, wird für einen Stern mit bekannter Rektaszension α dessen Stundenwinkel τ gemessen und die Sternzeit mit θ = τ + α berechnet. Der Sterntag ist etwa 0,0084 s kürzer als die Rotationsdauer der Erde von ungefähr 23 h 56 min 4 s. Durch Präzession verschiebt sich der Frühlingspunkt um ca. 50″ pro Jahr; in einem platonischen Jahr von ca. 26000 Jahren durchläuft er einmal die ganze Ekliptik.

Erdmessung und Sonnenkollektoren

In den Geowissenschaften dient die sphärische Trigonometrie insbesondere der höheren Geodäsie, der mathematischen Geografie und der Kartenprojektion. In der Astronomie wird sie für astronomische Koordinatensysteme und die Ortsbestimmung von Gestirnen verwendet.

Ist die Sonnenposition bekannt, kann der Einfallswinkel i auf einen Plankollektor berechnet werden: cos(i) = sin(h) · sin(hC) + cos(a−aC) · cos(h) · cos(hC). Dabei sind a der Azimutwinkel der Sonne, aC der Azimutwinkel des Kollektors, h der Vertikalwinkel der Sonne und hC der Vertikalwinkel des Kollektors. Die Größen z = 90° − h und zC = 90° − hC sind die jeweiligen Zenitwinkel. Die Formel folgt aus dem Seiten-Kosinussatz eines Kugeldreiecks; der gegenüberliegende Dreieckswinkel ist a − aC.