Tangentialebene

Grundidee und Voraussetzungen

Eine Tangentialebene in einem Punkt P an eine Fläche F im dreidimensionalen Raum ist die Ebene, die die Fläche in der Umgebung dieses Punktes am besten annähert oder berührt. Sie ist die zweidimensionale Entsprechung zur Tangente an eine Kurve. Eine Tangentialebene existiert nur, wenn die Fläche an der betrachteten Stelle hinreichend glatt ist, zum Beispiel beim Graphen einer differenzierbaren Funktion von zwei Variablen. Bei einem Knick oder einer Spitze, etwa bei einem Kegel in der Spitze, gibt es dort keine Tangentialebene.

Eine Ebene kann durch einen Punkt und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren oder durch einen Punkt und einen Normalenvektor festgelegt werden. Welche Form man verwendet, hängt davon ab, wie die Fläche beschrieben ist: als Graph einer Funktion, implizit durch eine Gleichung oder parametrisiert. Die Tangentialebene ist außerdem der zweidimensionale Spezialfall eines Tangentialraums einer Untermannigfaltigkeit des R^n.

Formale Definition und konvexe Flächen

Sei F ⊂ R^3 eine reguläre Fläche und p0 ∈ F ein Punkt. Die Tangentialebene an F im Punkt p0 ist die Ebene durch p0, die von den Geschwindigkeitsvektoren von Wegen auf der Fläche aufgespannt wird, die durch p0 verlaufen. Ist γ: (-1,1) → F ein Weg mit γ(0)=p0, dann ist p0 + γ˙(0) ein Punkt der Tangentialebene. Da die Tangentialebene zweidimensional ist, genügen zwei solche Wege in verschiedene Richtungen, um sie aufzuspannen.

Mit der Tangentialebene lässt sich auch eine konvexe Fläche beschreiben: Eine Fläche heißt konvex, wenn in jedem ihrer Punkte eine Umgebung existiert, in der alle Punkte dieser Umgebung auf einer Seite der Tangentialebene liegen.

Graph einer Funktion

Ist eine Fläche als Graph F = {(x,y,z) ∈ R^3 | z = f(x,y)} einer Funktion f von zwei Variablen gegeben, dann sucht man die Tangentialebene im Punkt p0 = (x0,y0,f(x0,y0)). Wenn f an der Stelle (x0,y0) differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen fx(x0,y0) und fy(x0,y0) besitzt, liefert das Taylorpolynom erster Ordnung die Tangentialebene:

z = f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0).

Die Tangentialebene ist damit der Graph einer affin-linearen Funktion, also einer linearen Näherungsfunktion mit zusätzlicher Konstante.

Beispiel: Für das Paraboloid f(x,y)=x^2+2y^2 und (x0,y0)=(3,4) gilt fx(x,y)=2x und fy(x,y)=4y. Der Flächenpunkt ist (3,4,41), und die Tangentialebene ist

z = 41 + 6(x - 3) + 16(y - 4), also z = 6x + 16y - 41.

Implizite Fläche

Eine implizit gegebene Fläche ist als Niveaufläche F = {(x,y,z) ∈ R^3 | f(x,y,z)=0} einer Funktion f von drei Variablen beschrieben. Ein Beispiel ist die Einheitskugel mit x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0. Für einen Punkt p0 = (x0,y0,z0) auf der Fläche gilt f(x0,y0,z0)=0.

Wenn f im Punkt p0 differenzierbar ist und grad f(p0) = (fx(p0), fy(p0), fz(p0)) ≠ (0,0,0) gilt, dann ist die Tangentialebene durch

fx(p0)(x - x0) + fy(p0)(y - y0) + fz(p0)(z - z0) = 0

gegeben. Der Gradient grad f(p0) zeigt in die Richtung der stärksten Zunahme von f und ist deshalb ein Normalenvektor der Tangentialebene.

Beispiel: Für das Ellipsoid f(x,y,z)=x^2+2y^2+4z^2-1=0 und p0=(1/√2, 0, 1/√8) gilt grad f(x,y,z)=(2x,4y,8z). Die Tangentialebene lautet

√2(x - 1/√2) + √8(z - 1/√8)=0, also x + 2z - √2 = 0.

Parametrisierte Fläche

Ist eine Fläche durch eine Parameterdarstellung (x,y,z)=S⃗(u,v) gegeben, dann kann die Tangentialebene aus den Ableitungsvektoren nach den Parametern bestimmt werden. Ist S⃗(u,v) im Parameterpunkt (u0,v0) differenzierbar und sind S⃗u(u0,v0) und S⃗v(u0,v0) linear unabhängig, dann ist

(x,y,z)=S⃗(u0,v0)+S⃗u(u0,v0)(u-u0)+S⃗v(u0,v0)(v-v0)

eine Parameterdarstellung der Tangentialebene im Punkt p0=S⃗(u0,v0).

Beispiel: S⃗(u,v)=(u,v,u^3-3uv^2) beschreibt den Affensattel. Es gilt Su(u,v)=(1,0,3u^2-3v^2) und Sv(u,v)=(0,1,-6uv). Daraus ergibt sich die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt durch Einsetzen von u0 und v0 in diese Vektoren. Der Affensattel kann auch anders dargestellt werden: als Graph der Funktion f(x,y)=x^3-3xy^2 oder implizit durch f(x,y,z)=x^3-3xy^2-z=0.

Lage zur Fläche und Anwendungen

Eine Fläche kann in der Nähe eines Punktes vollständig auf einer Seite ihrer Tangentialebene liegen, zum Beispiel beim Paraboloid, Ellipsoid oder Zylinder. Sie kann aber auch in der Nähe eines Punktes auf beiden Seiten der Tangentialebene liegen, zum Beispiel beim Affensattel oder beim hyperbolischen Paraboloid.

Die Gauß-Krümmung beschreibt diese Lage mit: Ist sie in einem Flächenpunkt nicht Null, dann liegt die Fläche bei positiver Gaußkrümmung auf einer Seite der Tangentialebene und bei negativer Gaußkrümmung auf beiden Seiten. Ist die Gaußkrümmung Null, sind beide Fälle möglich, etwa beim Zylinder überall oder beim Affensattel im Nullpunkt.

Tangentialebenen werden verwendet, wenn eine Fläche für Berechnungen zu kompliziert ist und durch eine einfache Ebene ersetzt werden soll. Anwendungen sind die Bestimmung von Punkten der Schnittkurve zweier Flächen mit dem Newton-Verfahren, die Bestimmung von Umrisspunkten einer Fläche, bei denen die Projektionsrichtung in der Tangentialebene liegt, sowie Abbildungen und Projektionen von Flächen auf eine Ebene, zum Beispiel für Karten.