Winkel am Kreis

Grundbegriffe

Winkel am Kreis, kurz Kreiswinkel, sind Winkel, die in einem Kreis durch Radien, Sehnen und Tangenten entstehen. Die drei wichtigen Arten sind Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), Umfangswinkel (Peripheriewinkel, Sehnenwinkel) und Sehnentangentenwinkel.

Ausgangspunkt ist ein Kreisbogen mit den Endpunkten A und B und dem Kreismittelpunkt M. Der Mittelpunktswinkel ist der Winkel μ = ∠AMB zum gegebenen Kreisbogen. Ein Umfangswinkel entsteht, wenn P ein Punkt auf dem ergänzenden Kreisbogen ist, also auf dem Bogen, der den gegebenen Kreisbogen zu einem vollständigen Kreis ergänzt; dann heißt φ = ∠APB Umfangswinkel. Ein Sehnentangentenwinkel wird von der Sehne AB und der Kreistangente im Punkt A oder B begrenzt.

Manche Darstellungen beziehen diese Winkel nicht auf einen Kreisbogen, sondern auf die Sehne AB. Dann muss eindeutig sein, welcher der beiden durch die Sehne bestimmten Kreisbögen gemeint ist.

Kreiswinkelsatz

Der Kreiswinkelsatz, auch Mittelpunktswinkelsatz oder Zentriwinkelsatz, lautet: Der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel. In Formeln: μ = 2φ.

Der Satz verbindet also den Winkel am Mittelpunkt des Kreises mit einem Winkel am Umfang, wenn beide zu demselben Kreisbogen gehören. Daraus folgt umgekehrt, dass der Umfangswinkel halb so groß ist wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Ein wichtiger Spezialfall ist μ = 180°. Dann folgt aus μ = 2φ, dass φ = 90° gilt. Der Satz des Thales kann deshalb als Spezialfall des Kreiswinkelsatzes aufgefasst werden.

Begründung des Kreiswinkelsatzes

Ein Beweis des Kreiswinkelsatzes zeichnet die Verbindungsstrecke PM ein. Die Dreiecke PAM und BPM sind gleichschenklig, weil ihre Schenkel jeweils Radien des Kreises sind. Dadurch lassen sich Basiswinkel und Winkel am Mittelpunkt über die Winkelsumme im Dreieck ausdrücken.

Je nach Lage von M zu den Schenkeln PA und PB des Umfangswinkels ergeben sich mehrere Fälle. Liegt M zwischen PA und PB, bilden die Winkel α, β und μ am Mittelpunkt zusammen einen Vollwinkel von 360°. Mit α = 180° − 2φ₁ und β = 180° − 2φ₂ folgt μ = 2(φ₁ + φ₂). Da φ = φ₁ + φ₂ ist, ergibt sich μ = 2φ.

Liegt M auf einem Schenkel, ist einer der Teilwinkel φ₁ oder φ₂ gleich 0°. Liegt M außerhalb beider Schenkel, wird mit Differenzen der Teilwinkel argumentiert, etwa φ = φ₂ − φ₁ oder φ = φ₁ − φ₂. Auch dann ergibt sich jeweils μ = 2φ.

Ein weiterer Beweis unterscheidet vier geometrische Lagen: Ein Schenkel des Umfangswinkels verläuft durch den Mittelpunkt, der Mittelpunktswinkel beträgt 180°, die Punkte A, M, B, P bilden ein reguläres nicht überschlagenes Viereck, oder sie bilden ein überschlagenes Viereck. In allen Fällen werden gleichschenklige Dreiecke, Nebenwinkel, Scheitelwinkel und Winkelsummen genutzt; das Ergebnis bleibt μ = 2φ.

Umfangswinkelsatz und Fasskreisbogen

Der Umfangswinkelsatz lautet: Alle Umfangswinkel über einem Kreisbogen sind gleich groß. Er folgt direkt aus dem Kreiswinkelsatz, denn jeder Umfangswinkel ist halb so groß wie derselbe zugehörige Mittelpunktswinkel.

Ein direkter Beweis ist ebenfalls möglich. Dazu betrachtet man einen weiteren Punkt P′ auf dem gegebenen Kreisbogen, sodass ein Sehnenviereck AP′BP entsteht. Verwendet wird die Eigenschaft, dass sich in einem Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Damit kein Zirkelschluss entsteht, muss diese Eigenschaft ohne Rückgriff auf Umfangswinkel begründet werden, etwa mit Basiswinkeln in gleichschenkligen Dreiecken.

Der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, heißt besonders bei Konstruktionsaufgaben Fasskreisbogen. Er beschreibt die Menge aller Punkte, von denen aus eine gegebene Strecke AB unter einem bestimmten Winkel erscheint. Im Allgemeinen besteht diese Punktmenge aus zwei Fasskreisbögen.

Sehnentangentenwinkelsatz

Der Sehnentangentenwinkelsatz lautet: Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Im Beweis wird gezeigt, dass δ = γ gilt, wobei δ ein Sehnentangentenwinkel und γ ein zugehöriger Umfangswinkel ist. Da das Dreieck ABM gleichschenklig ist, gilt für einen Winkel α₂: α₂ = (180° − 2γ) / 2 = 90° − γ. Zusammen mit α₂ + δ = 90° folgt δ = 90° − α₂ = 90° − (90° − γ) = γ.

Der Zusammenhang mit dem Mittelpunktswinkel ergibt sich anschließend aus dem Kreiswinkelsatz: Ist der zugehörige Mittelpunktswinkel φ = 2γ, dann ist der Sehnentangentenwinkel halb so groß wie dieser Mittelpunktswinkel.

Anwendungen in Konstruktionen

Der Umfangswinkelsatz wird häufig bei geometrischen Konstruktionen verwendet. Eine typische Aufgabe ist, alle Punkte P zu finden, von denen aus eine gegebene Strecke AB unter einem bestimmten Winkel erscheint. Diese Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Fasskreisbögen.

Ein Beispiel nutzt drei Geraden g₁, g₂ und g₃, die sich in einem Punkt S schneiden. Von einem Punkt P ≠ S werden die Lote auf diese drei Geraden gefällt. Das entstehende Dreieck ABC hat Innenwinkelweiten, die mit den Schnittwinkelweiten der drei Geraden übereinstimmen. Der Beweis verwendet den Thaleskreis über PS und mehrere Umfangswinkel: ∠BAC und ∠BSC haben dieselbe Weite α, ∠ACB und ∠ASB dieselbe Weite γ, und daraus folgt für den dritten Winkel β = 180° − α − γ. Schneiden sich die drei Geraden jeweils unter 60°, dann ist α = β = γ, und das Dreieck ABC ist gleichseitig.

Bei einer Dreieckskonstruktion können die Seite c, die Höhe h_c und der Winkel γ gegeben sein. Man zeichnet c als Strecke AB, errichtet die Mittelsenkrechte und bestimmt über den Hilfswinkel α = 90° − γ den Mittelpunkt M₂ des Fasskreisbogens. Der Fasskreisbogen mit Radius |M₂A| und eine Parallele zu c im Abstand h_c schneiden sich in den möglichen Punkten C und C′. So entstehen zwei spiegelbildliche Dreiecke.

Auch der Kreiswinkelsatz dient als Konstruktionsbaustein, etwa beim Zeichnen eines Vierzigecks mit gegebener Seitenlänge a, bei der Dreiteilung eines Winkels mithilfe der Hyperbel nach einem Ansatz, den Pappos bereits im 4. Jahrhundert nutzte, oder bei der Konstruktion eines Polygons mit doppelter oder halber Eckenzahl eines Polygons gleicher Seitenlänge.