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Fasskreisbogen
Konstruiere die Mittelsenkrechte von (AB). Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechte und Lot ergibt den gesuchten Fasskreismittelpunkt (M) (siehe Bild).
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Grundidee und Bedeutung
Der Fasskreisbogen ist ein Begriff aus der Geometrie. Er ist ein Kreisbogen über einer gegebenen Strecke, von dessen Punkten aus die Strecke immer unter demselben Winkel erscheint. Die Strecke ist dabei eine Sehne, also eine Strecke zwischen zwei Punkten eines Kreises. Da es auf jeder Seite der Strecke einen solchen Kreisbogen gibt, spricht man vom Fasskreisbogenpaar.
Der Fasskreisbogen kann als geometrischer Ort verstanden werden: Er ist die Menge aller Punkte, von denen aus man eine Sehne des Kreises unter demselben Winkel sieht. Dieser Winkel heißt Umfangswinkel. Die Begriffe Fasskreisbogen und Fasskreis werden synonym gebraucht.
Sonderfall und Anwendung
Ein besonderer Fall ist der Thales-Halbkreis. Bei ihm beträgt jeder Umfangswinkel 90°, und die betrachtete Sehne ist der Durchmesser des Kreises.
Der Fasskreisbogen wird auch zum Beweis geometrischer Sätze verwendet. Ein Beispiel ist der Südpolsatz: In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Seite und die Winkelhalbierende des Gegenwinkels dieser Seite auf dem Umkreis.
Konstruktion des Fasskreismittelpunkts
Eine mögliche Konstruktion beginnt mit der Sehne AB:
- Zeichne die Sehne AB.
- Lege in einem Sehnenendpunkt, beispielsweise A, den gewünschten Fasswinkel γ an.
- Errichte im Scheitel A das Lot auf dem Winkelschenkel.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von AB.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und des Lots ist der gesuchte Fasskreismittelpunkt M.
Weitere Konstruktionsverfahren
Bei einem zweiten Verfahren wird der Umfangswinkel γ zunächst mit 90° verglichen:
- Zeichne die Sehne AB.
- Bei einem spitzen Winkel subtrahiere γ von 90° und trage den erhaltenen Winkel an A und B an. Bei einem stumpfen Winkel subtrahiere 90° vom Umfangswinkel.
- Der Schnittpunkt der beiden freien Schenkel ist der Umkreismittelpunkt.
Eine dritte Konstruktion beginnt mit dem Umfangswinkel:
- Zeichne einen Umfangswinkel γ mit der Spitze C.
- Wähle einen Punkt A auf einem Schenkel und zeichne um A einen Kreis mit dem Radius |AB|. Der Kreis schneidet den anderen Schenkel in B.
- Errichte die Mittelsenkrechten auf AB und AC. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Fasskreises.