Kreisbogen

Definition und Grundidee

Ein Kreisbogen ist ein zusammenhängendes Teilstück eines Kreises, also eines Teils der Kreislinie. Er wird durch zwei Randpunkte auf dem Kreis begrenzt. Die Verbindungsstrecken vom Kreismittelpunkt zu diesen Randpunkten sind Radien. Sie schließen am Mittelpunkt den zugehörigen Mittelpunktswinkel ein, der auch Zentriwinkel genannt wird.

Mittelpunktswinkel und Bogenlänge hängen unmittelbar zusammen: Mithilfe des Winkels kann die Länge des Kreisbogens berechnet werden. Umgekehrt lässt sich die Größe des Mittelpunktswinkels durch die Länge des gegenüberliegenden Kreisbogens definieren; dies führt zum Bogenmaß.

Kreisbögen zwischen zwei Punkten

Zwei Punkte A und B auf einem Kreis teilen die Kreislinie in zwei Kreisbögen. Diese heißen komplementäre Kreisbögen, weil sie zusammen den vollständigen Kreis bilden. Im Allgemeinen ist einer der Bögen kleiner und der andere größer. Beide sind nur dann gleich groß, wenn A und B einander auf dem Kreis direkt gegenüberliegen.

Ist aus dem Zusammenhang eindeutig, welcher der beiden Bögen gemeint ist, kann er kurz als AB oder mit dem Bogensymbol als ÂB bezeichnet werden. Reichen die beiden Randpunkte nicht zur eindeutigen Angabe aus, wird ein dritter Punkt auf dem gewünschten Bogen genannt. Liegt beispielsweise C auf dem größeren Bogen zwischen A und B, heißt dieser Bogen ACB beziehungsweise ÂCB.

Eine weitere eindeutige Bezeichnung ist möglich, wenn ein Drehsinn festgelegt wurde. Dann bezeichnet AB beispielsweise den Bogen, auf dem A bei einer Linksdrehung in B übergeht. BA steht entsprechend für den komplementären Bogen.

Bogenlänge im Gradmaß

Die Bogenlänge b ist proportional zum Mittelpunktswinkel α. Ein größerer Mittelpunktswinkel gehört daher bei demselben Kreis zu einem entsprechend längeren Kreisbogen.

Beim vollständigen Kreis beträgt der Mittelpunktswinkel 360° und die Bogenlänge entspricht dem Kreisumfang U = 2πr. Dabei ist r der Kreisradius. Daraus folgt die Proportion

b : α = 2πr : 360°.

Ist α im Gradmaß angegeben, ergibt sich daraus die Formel

b = 2πr · α/360° = πr · α/180°.

Der Anteil α/360° gibt an, welchen Anteil des gesamten Kreisumfangs der betrachtete Bogen einnimmt.

Bogenmaß

Im Bogenmaß wird die Winkelgröße mithilfe von Bogenlänge und Radius definiert. Wegen der Proportionalität von Bogenlänge und Kreisradius gilt

α = b/r.

Ist der Mittelpunktswinkel α bereits im Bogenmaß gegeben, vereinfacht sich die Berechnung der Bogenlänge zu

b = r · α.

Damit hängt die passende Formel von der Einheit des Winkels ab: Im Gradmaß wird durch 360° beziehungsweise 180° geteilt; im Bogenmaß genügt das Produkt aus Radius und Winkel.