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Satz des Thales
Beweis mit gleichschenkligen Dreiecken · In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich. · Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist 180°.
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Kernaussage
Der Satz des Thales ist ein geometrisches Theorem und ein Spezialfall des Kreiswinkelsatzes. Vereinfacht sagt er: Alle Dreiecke, die von einem Halbkreis umschrieben werden, sind rechtwinklig.
Genauer gilt: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises, dem sogenannten Thaleskreis, und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, dann erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck. Liegt also der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C immer einen rechten Winkel.
Auch die Umkehrung ist richtig: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Anders formuliert: Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, dann liegt C auf einem Kreis, dessen Durchmesser die Hypotenuse AB ist.
Geometrische Beweise
Ein klassischer Beweis verwendet gleichschenklige Dreiecke. Sei ABC ein Dreieck in einem Kreis, bei dem AB der Durchmesser ist und M der Mittelpunkt von AB sowie der Kreismittelpunkt. Dann sind AM, BM und CM alle Radien des Kreises und deshalb gleich lang. Die Strecke CM teilt das Dreieck ABC in die beiden gleichschenkligen Dreiecke AMC und BCM.
In gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich. Bezeichnet man die entsprechenden Winkel mit α und β, dann lautet die Winkelsumme im Dreieck ABC: α + β + α + β = 180°. Daraus folgt 2 · (α + β) = 180° und nach Division durch 2: α + β = 90°. Der Winkel bei C ist also ein rechter Winkel.
Ein weiterer Beweis vervollständigt die Figur zu einem Rechteck. Der Punkt C wird am Durchmesser AB und anschließend an der Mittelsenkrechten von AB gespiegelt. Der Bildpunkt D liegt wegen der Symmetrie auf dem unteren Halbkreis. Das Viereck ACBD ist ein Parallelogramm. Da seine Diagonalen AB und CD beide Kreisdurchmesser und daher gleich lang sind, ist dieses Parallelogramm ein Rechteck. Deshalb ist der Winkel bei C ein rechter Winkel.
Algebraische und trigonometrische Beweise
Beim Beweis mit kartesischen Koordinaten wird der Kreismittelpunkt als Koordinatenursprung gewählt. Der Radius sei r, die Punkte seien A = (-r, 0), B = (r, 0) und C = (x, y). Weil C auf dem Kreis liegt, gilt nach dem Satz des Pythagoras x² + y² = r².
Für die Seitenlängen erhält man (r + x)² + y² = AC² und (r - x)² + y² = BC². Daraus folgt AC² + BC² = ((r + x)² + y²) + ((r - x)² + y²) = 2r² + 2(x² + y²) = 4r² = AB². Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig.
Dasselbe lässt sich mit Vektoren ausdrücken. Für AC = (r + xC, yC) und CB = (r - xC, -yC) ist das Skalarprodukt AC · CB = (r + xC)(r - xC) - yC² = r² - xC² - yC² = 0. Ein Skalarprodukt von 0 bedeutet, dass die Vektoren orthogonal sind, also senkrecht aufeinander stehen.
Der trigonometrische Beweis nutzt die Koordinaten C = (r · cos(β), r · sin(β)). Die Steigung von AC ist sin(β)/(cos(β) + 1), die Steigung von BC ist sin(β)/(cos(β) - 1). Ihr Produkt ist wegen sin²(β) + cos²(β) = 1 gleich -1. Geraden mit dem Steigungsprodukt -1 stehen senkrecht zueinander; also bilden AC und BC einen rechten Winkel.
Wichtige Anwendungen
Eine wichtige Anwendung ist die Konstruktion von Tangenten an einen Kreis k durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P. Der Kreis hat den Mittelpunkt O und den Radius r. Der gesuchte Berührpunkt T liegt auf der Kreislinie. Weil eine Tangente den Kreis im Berührpunkt senkrecht zum Radius berührt, muss OT senkrecht auf der Tangente durch P stehen. Das Dreieck OPT muss also bei T rechtwinklig sein.
Man bestimmt dazu den Mittelpunkt H der Strecke OP, zeichnet den Kreis um H mit Radius HO und nutzt den Thaleskreis: Alle Dreiecke mit der Grundseite OP, deren dritter Punkt auf diesem Kreis liegt, sind rechtwinklig. Der Berührpunkt T ist der Schnittpunkt dieses Hilfskreises mit dem ursprünglichen Kreis k. Verbindet man P mit T, erhält man die Tangente. Es gibt eine zweite symmetrische Lösung mit dem Berührpunkt T'.
Auch bei Riemengetrieben wird der Satz verwendet. Bei offenem und gekreuztem Riemengetriebe wird ein Hilfskreis k3 an oder um die größere Riemenscheibe konstruiert. Vom Mittelpunkt M2 der kleineren Riemenscheibe aus werden Tangenten an diesen Hilfskreis bestimmt. Die an beiden Scheiben anliegenden Tangenten sind Parallelen zu den Tangenten am Hilfskreis. Beim offenen Riemengetriebe gilt für den Radius des Hilfskreises r3 = r1 - r2, beim gekreuzten Riemengetriebe r3 = r1 + r2.
Quadratwurzeln konstruieren
Mit dem Satz des Thales sowie dem Höhensatz und Kathetensatz des Euklid lassen sich bestimmte reelle Quadratwurzeln mit Zirkel und Lineal konstruieren. Der Höhensatz beschreibt in einem rechtwinkligen Dreieck den Zusammenhang h² = p · q. Der Kathetensatz beschreibt zum Beispiel a² = p · c.
Für eine Zahl q > 0 und c > 1 kann man √q und √c konstruieren. Bei einer Zahl größer als 1 beginnt man mit einer Strecke BD der Länge p = 1. Die gegebene Zahl q wird ab D auf derselben Geraden abgetragen; bei q = 8 zum Beispiel achtmal die Strecke BD. Dadurch entsteht ein Punkt A und die Hypotenuse c = p + q. Danach konstruiert man die Senkrechte auf c im Punkt D, halbiert c im Punkt M und zeichnet den Thaleskreis um M. Nach dem Höhensatz gilt h² = p · q, also h² = 1 · q; damit ist h = √q. Nach dem Kathetensatz gilt a² = p · c, also a² = 1 · c; damit ist a = √c.
Für Zahlen kleiner als 1 werden ebenfalls Thaleskreis, Höhensatz und Satz des Pythagoras genutzt. Es beginnt mit einer Halbgeraden ab A, auf der AB die Länge 1 und AE die Länge 0,1 hat. Bei q = 0,8 wird die Strecke AE achtmal abgetragen. Es folgen eine Senkrechte im Punkt D, die Halbierung der Hypotenuse c in M und der Thaleskreis mit Radius 0,5. Nach dem Höhensatz ist h = √(p · q). Mit p = 1 - q ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras b² = q² + p · q = q² + q(1 - q) = q, also b = √q. Entsprechend erhält man a = √p.
Verallgemeinerung in Vektorräumen
Der Satz des Thales kann wie der Satz des Pythagoras auf Vektorräume mit Skalarprodukt übertragen werden. Ein Prä-Hilbert-Raum ist ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt; dieses erlaubt es, Längen und Orthogonalität zu beschreiben. Orthogonalität der Katheten bedeutet dann, dass ihr Skalarprodukt 0 ist.
Für einen Prä-Hilbert-Raum (V, ⟨·,·⟩) über K = R oder C wird ein Dreieck Δ(A, B, C) mit Vektoren beschrieben. Es gilt AB = 2 · w und AM = w, also ist M der Mittelpunkt von AB. Weiter gelten AC = v1, BC = v2 und MC = r. Wenn ||w|| = ||r|| ist, liegt C auf dem Kreis um M. Für komplexe Prä-Hilbert-Räume verlangt man zusätzlich ⟨w, r⟩ ∈ R. Dann folgt ⟨v1, v2⟩ = 0; das Dreieck ist rechtwinklig.
Die Umkehrung wird ebenfalls formuliert: Wenn ⟨v1, v2⟩ = 0 gilt, also die Katheten orthogonal sind, dann folgt ||w|| = ||r||. Damit liegt C auf dem Kreis um M. In euklidischen Vektorräumen gilt die Zusatzbedingung ⟨w, r⟩ ∈ R natürlich. In unitären Vektorräumen über C muss sie als Voraussetzung gefordert werden. Falls ⟨w, r⟩ nicht reell ist, kann r durch r̂ := (⟨r, w⟩ / |⟨r, w⟩|) · r ersetzt werden, damit ⟨w, r̂⟩ ∈ R gilt.
