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Gleichschenkliges Dreieck
... Konstruktion. Bearbeiten. Mathematische Formeln zum gleichschenkligen Dreieck a = b {\displaystyle a=b} {\displaystyle a=b}. Flächeninhalt, A = c ⋅ h c 2 = c 4 …
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Begriff und grundlegende Eigenschaften
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten, zum Beispiel a=b. Diese Seiten heißen Schenkel; die dritte Seite heißt Basis. Der Eckpunkt gegenüber der Basis heißt Spitze, die beiden an der Basis liegenden Winkel heißen Basiswinkel.
Den gleich langen Seiten liegen gleich große Winkel gegenüber. Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch und kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Sind zusätzlich auch Basis und Schenkel gleich lang, liegt ein gleichseitiges Dreieck vor.
Schließen die Schenkel an der Spitze γ=36° ein, heißt die Form Goldenes Dreieck erster Art; bei γ=108° heißt sie Goldenes Dreieck zweiter Art. Zur vollständigen Bestimmung eines gleichschenkligen Dreiecks benötigt man zwei Bestimmungsstücke, darunter mindestens eine Seite.
Basiswinkel und Symmetrieachse
Der Basiswinkelsatz besagt: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Umgekehrt gilt: Haben in einem Dreieck zwei Winkel dieselbe Größe, dann sind die ihnen gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
Die Symmetrieachse verläuft durch Spitze und Mittelpunkt der Basis. Sie ist zugleich die Höhe auf die Basis, deren Mittelsenkrechte (Streckensymmetrale), deren Seitenhalbierende (Schwerlinie) sowie die Winkelhalbierende des Spitzenwinkels. Auf ihr liegen Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt. Bei einem nicht gleichseitigen gleichschenkligen Dreieck fällt auch die eulersche Gerade mit dieser Symmetrieachse zusammen.
Formeln
Für Schenkel a=b, Basis c, Höhe auf die Basis h_c, Basiswinkel α=β und Spitzenwinkel γ gelten:
A=(c·h_c)/2=(c/4)·√(4·a²−c²). Außerdem gilt A=(a²·sin(γ))/2=(c²/4)·sin(γ)/(1−cos(γ))=(c²/4)·cot(γ/2). Der Umfang ist U=2·a+c.
Die Basis lässt sich berechnen mit c=2·a·sin(γ/2)=√(2·a²·(1−cos(γ))). Für die Winkel gilt α=β=arcsin(h_c/a) sowie γ=180°−2·α=2·arcsin(c/(2·a))=arccos(1−c²/(2·a²)).
Die Höhen sind h_a=(c/(2·a))·√(4·a²−c²), h_b=(c/(2·b))·√(4·a²−c²) und h_c=(1/2)·√(4·a²−c²). Der Inkreisradius ist r_i=(c·h_c)/(2·a+c)=c·√(4·a²−c²)/(4·a+2·c). Für den Umkreisradius gilt r_u=a/(2·sin(α))=c/(2·sin(γ))=a²/√(4·a²−c²).
Bestimmung aus Angaben
Sind zwei Seiten gegeben, ist das gleichschenklige Dreieck nur dann bestimmt, wenn eine der Seiten kürzer als die Hälfte der anderen ist. Die kurze Seite ist dann wegen der Dreiecksungleichung stets die Basis. Damit sind indirekt drei Seiten gegeben; die Winkel können mit dem Kosinussatz berechnet werden.
Ist eine Seite und ein Winkel gegeben, folgen die übrigen Winkel sofort aus 2α+γ=180°. Danach kann das Dreieck nach dem WSW-Fall behandelt werden; die fehlenden Seiten lassen sich mit dem Sinussatz berechnen.
Zerlegung von Sehnenvielecken und Polyeder
Ein Sehnenvieleck kann durch Radien seines Umkreises in gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Enthält das Vieleck den Mittelpunkt des Umkreises, verlaufen die Radien durch seine Eckpunkte. Die entstehenden Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Die Zerlegung dient dazu, eine Flächenformel für ein Polygon aus seinen Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke ohne Umkreismittelpunkt. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und die Formel von Brahmagupta für Sehnenvierecke.
Gleichschenklige Dreiecke treten auch als Seitenflächen besonderer Polyeder auf, etwa bei regelmäßigen Pyramiden und regelmäßigen Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Diese Polyeder sind drehsymmetrisch: Durch Drehungen um bestimmte Rotationsachsen können sie auf sich selbst abgebildet werden.
