Sehnenviereck

Grundidee und wichtige Beispiele

Ein Sehnenviereck, auch Kreisviereck genannt, ist ein Viereck, dessen vier Eckpunkte auf einem gemeinsamen Kreis liegen. Dieser Kreis heißt Umkreis des Vierecks. Deshalb sind alle Seiten des Vierecks Sehnen dieses Kreises, also Strecken zwischen zwei Punkten auf dem Kreis. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht-überschlagenes Sehnenviereck; ein solches Sehnenviereck ist notwendigerweise konvex.

Besondere Sehnenvierecke sind das gleichschenklige Trapez, das Rechteck und das Quadrat. Das Thema ist wichtig, weil bei Sehnenvierecken Winkel, Seiten, Diagonalen, Flächeninhalt und Umkreisradius durch besondere Sätze und Formeln eng miteinander verbunden sind.

Zentrale Sätze und Winkeleigenschaften

Für jedes Sehnenviereck gilt der Sehnensatz: Schneiden sich die Diagonalen AC und BD im Punkt P, dann sind die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte gleich groß: |AP| · |CP| = |BP| · |DP|.

Für nicht-überschlagene Sehnenvierecke gilt außerdem: Gegenüberliegende Innenwinkel ergänzen sich zu 180°. Mit den Winkeln α, β, γ und δ bedeutet das: α + γ = 180° und β + δ = 180°.

Diese Eigenschaft folgt aus dem Kreiswinkelsatz: Gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks sind Umfangswinkel über zwei sich ergänzenden Kreisbögen. Die zugehörigen Mittelpunktswinkel ergänzen sich zu 360°, und Umfangswinkel sind halb so groß wie die entsprechenden Mittelpunktswinkel. Daher ergeben die beiden Umfangswinkel zusammen 180°.

Auch die Umkehrung gilt: Wenn in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180° beträgt, dann ist es ein Sehnenviereck.

Der Satz von Ptolemäus gilt ebenfalls für nicht-überschlagene Sehnenvierecke: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten ist gleich dem Produkt der Diagonalen: |AB| · |CD| + |BC| · |DA| = |AC| · |BD|.

Weitere geometrische Eigenschaften

Eine spezielle Eigenschaft betrifft die Mittelpunkte von Kreisbögen: Ist ABCD ein Sehnenviereck und sind E, F, G und H die Mittelpunkte der Kreisbögen über den Seiten, dann stehen die Verbindungslinien EG und FH senkrecht aufeinander. Das wird mit dem Kreiswinkelsatz begründet; aus den beteiligten Kreisbögen folgt, dass bestimmte Umfangswinkel zusammen 90° ergeben, wodurch EG und FH orthogonal sind.

Eine weitere Konstruktion erzeugt eine Raute: Schneiden sich die Verlängerungen zweier gegenüberliegender Seiten eines Sehnenvierecks in P beziehungsweise Q, und nimmt man die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden durch P und Q mit den Seiten von ABCD, dann entsteht ein Viereck EFGH. Dieses Viereck ist stets eine Raute, also ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.

Umgekehrt können Sehnenvierecke auch aus Winkelhalbierenden entstehen: Die Halbierenden der Innenwinkel eines beliebigen Vierecks umschließen ein Sehnenviereck. Mit analoger Beweisführung gilt dies auch für Außenwinkel.

Der Satz von Thébault für Sehnenvierecke sagt: Die Lote der Seitenmitten auf die Gegenseiten schneiden sich in einem Punkt E. Dieser Punkt ist der Spiegelpunkt des Umkreismittelpunkts U am Schwerpunkt S der vier Ecken. Sind die Diagonalen orthogonal, dann ist E nach dem Satz von Brahmagupta ihr Schnittpunkt. Für die Seitenlängen a, b, c, d und den Umkreisradius r gilt dann: a² + c² = b² + d² = 4r². Für die Diagonalenabschnitte w, x, y und z gilt außerdem: w² + x² + y² + z² = 4r².

Formeln für Fläche, Diagonalen und Radius

Für ein Sehnenviereck mit Seitenlängen a, b, c, d und halbem Umfang s = (a + b + c + d) / 2 gilt für den Flächeninhalt F die Formel von Brahmagupta: F = √((s − a) · (s − b) · (s − c) · (s − d)).

Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke. Ein Dreieck kann dabei als ausgeartetes Sehnenviereck betrachtet werden, dessen vierte Seite die Länge 0 hat. Die Formel von Brahmagupta ist ein Spezialfall der Formel von Bretschneider; bei Sehnenvierecken ist der dort zusätzliche Korrekturterm 0.

Weitere Formeln für den Flächeninhalt lauten: F = e · (a · b + c · d) / (4 · R) und F = f · (a · d + b · c) / (4 · R), wobei e = |AC| und f = |BD| die Diagonalen und R der Umkreisradius sind.

Für die Diagonalenlängen gilt: e = |AC| = √(((a · c + b · d) · (a · d + b · c)) / (a · b + c · d)) und f = |BD| = √(((a · b + c · d) · (a · c + b · d)) / (a · d + b · c)).

Für den Umkreisradius gilt: R = 1 / (4 · F) · √((a · b + c · d) · (a · c + b · d) · (a · d + b · c)).

Ein Viereck mit festen, geordneten Seitenlängen hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck ist. Entsprechend hat ein Vieleck genau dann den größten Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenvieleck ist.

Weitere Gleichungen und Flächenformeln

Für die Innenwinkel eines Sehnenvierecks gelten mit s = 1/2 · (a + b + c + d) unter anderem diese Beziehungen: sin(α) = 2 · √((s − a) · (s − b) · (s − c) · (s − d)) / (a · d + b · c), cos(α) = (a² + d² − b² − c²) / (2 · (a · d + b · c)), tan(α / 2) = √(((s − a) · (s − d)) / ((s − b) · (s − c))).

Für den Schnittwinkel θ der Diagonalen gilt: tan(θ / 2) = √(((s − b) · (s − d)) / ((s − a) · (s − c))).

Für den Schnittwinkel φ der verlängerten Seiten a und c gilt: cos(φ / 2) = √(((s − b) · (s − d) · (b + d)²) / ((a · b + c · d) · (a · d + b · c))).

Es gibt auch eine Flächenformel über den Umkreisradius R und die Seitenlängen. Nach dem Satz des Pythagoras ergeben sich Teilflächen wie F(ABM) = 1/2 · a · √(R² − (a/2)²) = a/4 · √(4 · R² − a²). Entsprechend gilt dies für b, c und d. Der gesamte Flächeninhalt ist daher: F = 1/4 · (a · √(4 · R² − a²) + b · √(4 · R² − b²) + c · √(4 · R² − c²) + d · √(4 · R² − d²)).

Bezeichnet man die Mittelpunktswinkel, die den Seiten a, b, c, d gegenüberliegen, mit α_m, β_m, γ_m, δ_m, dann gilt außerdem: F = R²/2 · (sin(α_m) + sin(β_m) + sin(γ_m) + sin(δ_m)).

Sehnentangentenvierecke

Ein Sehnentangentenviereck ist ein Viereck, das zugleich Sehnenviereck und Tangentenviereck ist. Es besitzt also sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis. Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten einen gemeinsamen Kreis berühren; dieser Kreis ist der Inkreis.

Ein wichtiges Kriterium lautet: Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck, wenn die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Berührpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen.

Im Beweis wird gezeigt, dass ein Tangentenviereck ABCD genau dann zugleich ein Sehnenviereck ist, wenn φ = 90° gilt. Gleichwertig dazu ist: β + δ = 180° ⇔ φ = 90°. Aus der Winkelrechnung folgt nämlich: β + δ = 360° − 2φ. Damit ist β + δ = 180° genau dann erfüllt, wenn φ = 90° ist.

Für Sehnentangentenvierecke vereinfacht sich die Flächeninhaltsberechnung. Aus der Brahmagupta-Formel für Sehnenvierecke und der Halbumfangsformel s = a + c = b + d für Tangentenvierecke nach dem Satz von Pitot folgt: F = √(a · b · c · d).