Positive und negative Zahlen

Grundidee und Einteilung

Positive und negative Zahlen sind eine Einteilung der reellen Zahlen ohne die Null, also \mathbb{R} \backslash \{0\}. Eine Zahl heißt positiv, wenn sie größer als Null ist, zum Beispiel 3. Eine Zahl heißt negativ, wenn sie kleiner als Null ist, zum Beispiel −3. Die Zahl Null ist nach der im deutschsprachigen Raum üblichen Konvention weder positiv noch negativ.

Diese Unterscheidung kann auch auf Teilmengen der reellen Zahlen angewendet werden, etwa auf rationale Zahlen oder ganze Zahlen. Die Zahl Null zusammen mit den positiven Zahlen heißt nichtnegativ oder nicht-negativ. Die Zahl Null zusammen mit den negativen Zahlen heißt nichtpositiv oder nicht-positiv.

Nicht für jede Zahlenmenge ist eine solche Dreiteilung in positive Zahlen, negative Zahlen und Null sinnvoll möglich. Sie muss mit Addition und Multiplikation verträglich sein. Bei den komplexen Zahlen geht das zum Beispiel nicht, weil sich dort keine Totalordnung definieren lässt, die mit beiden Rechenoperationen zusammenpasst. Körper mit dieser Eigenschaft heißen nichtanordenbar.

Schreibweise und Zahlengerade

Positive Zahlen werden mit einem Pluszeichen (+) oder meistens ganz ohne Vorzeichen geschrieben. Negative Zahlen werden mit einem Minuszeichen (−) geschrieben. Das Vorzeichen steht direkt vor der ersten Ziffer, ohne Leerraum. Im Finanzbereich können negative Zahlen auch in Klammern dargestellt werden.

Auf der Zahlengeraden liegen die positiven Zahlen rechts von 0. Die negativen Zahlen liegen links von 0. Beide Bereiche sind bezüglich der 0 spiegelsymmetrisch: Zu einer positiven Zahl gibt es links von 0 eine entsprechende negative Zahl mit demselben Abstand zur 0.

Vorzeichen, Betrag und Gegenzahl

Das Vorzeichen zeigt an, ob eine Zahl positiv oder negativ ist. Die Vorzeichenfunktion ordnet einer Zahl abhängig vom Vorzeichen einen ganzzahligen Wert zu: −1 für negative Zahlen, 0 für die Zahl 0 und +1 für positive Zahlen.

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Zahl 0. Deshalb ist der Betrag immer nichtnegativ. Der Betrag von 0 ist 0.

Die Gegenzahl einer Zahl hat denselben Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Zum Beispiel ist −3 die Gegenzahl von 3, und 16 ist die Gegenzahl von −16. Eine Zahl und ihre Gegenzahl ergeben zusammen immer 0. In der Algebra heißt die Gegenzahl deshalb auch additiv inverses Element.

Natürliche Zahlen und Multiplikation

Der Begriff positive oder negative Zahl kann auch auf die ganzen Zahlen übertragen werden, wenn diese als Teil der reellen Zahlen betrachtet werden. Die natürlichen Zahlen sind je nach Definition entweder die positiven ganzen Zahlen oder die nichtnegativen ganzen Zahlen. Dafür haben sich die Schreibweisen \mathbb{N} für nur positive ganze Zahlen und \mathbb{N}_0 für nichtnegative ganze Zahlen eingebürgert. Nichtnegativ bedeutet hier nur, dass die Null zur betrachteten Menge gehört.

Bei der Multiplikation gelten feste Vorzeichenregeln: Das Produkt zweier positiver Zahlen ist positiv. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist ebenfalls positiv, was oft als „Minus mal Minus gleich Plus“ zusammengefasst wird. Multipliziert man dagegen eine positive mit einer negativen Zahl, ist das Ergebnis negativ.

Fasst man die positiven reellen oder rationalen Zahlen zur Menge P und die negativen reellen oder rationalen Zahlen zur Menge N zusammen, dann bildet P \cup N, also die Menge aller Zahlen ungleich Null, bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe. Eine abelsche Gruppe ist hier eine Menge mit einer Verknüpfung, bei der unter anderem jedes Element ein inverses Element hat und die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt. Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Multiplikation keine Gruppe, weil zum Beispiel 2 keine inverse ganze Zahl hat: 1/2 ist keine ganze Zahl.

Fehler und Alltagssprache

Viele Rechenfehler entstehen dadurch, dass ein Vorzeichen verwechselt wird. Ein bekanntes Beispiel ist die Hochrheinbrücke: Bei der Berechnung eines Brückenpfeilers wurde ein Korrekturwert von 27 cm mit dem falschen Vorzeichen eingesetzt. Hintergrund war, dass die Schweiz und Deutschland an der gemeinsamen Grenze ein um 27 cm unterschiedliches Höhensystem haben.

Im Alltag werden negative Zahlen manchmal sprachlich vermieden. Man spricht zum Beispiel von Schulden statt von negativem Guthaben oder von Bremsen statt von negativer Beschleunigung. Umgekehrt gibt es Bereiche, in denen positive und negative Skalen üblich sind, obwohl negative Zahlen nicht zwingend nötig wären. Ein Beispiel ist die Temperaturmessung mit der Celsius- und der Fahrenheitskala statt der Kelvinskala.

Abweichende Verwendung von positiv

Die im Artikel verwendete Bedeutung ist im deutschen Sprachraum die deutlich dominierende: 0 ist weder positiv noch negativ. Es gibt aber abweichende Terminologien, in denen 0 den positiven Zahlen zugeordnet wird.

Ein prominentes Beispiel ist das Bourbaki-Projekt. Dort heißt es sinngemäß: 0 gehört zu N, der Menge der natürlichen Zahlen, und wird daher als positiv angesehen; positive ganze Zahlen, die außerdem \neq 0 sind, heißen strikt positiv.

In manchen Zusammenhängen, in denen nichtnegative Zahlen und Funktionen besonders wichtig sind, werden sie in dieser Tradition ebenfalls positiv genannt. Dann heißt eine reelle Zahl x \in \mathbb{R} positiv, wenn x \geq 0 gilt. Eine Funktion f\colon \Omega \to \bar{\mathbb{R}} heißt positiv, wenn f(\omega) \geq 0 für alle \omega \in \Omega gilt. In Frankreich und Belgien wird die Null als sowohl positive wie auch negative Zahl verstanden und gelehrt.