Strahl (Geometrie)

Grundidee und Abgrenzung

Ein Strahl, auch Halbgerade genannt, ist in der Geometrie eine gerade Linie, die auf einer Seite durch einen Anfangspunkt begrenzt ist und sich auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt. Anschaulich kann man ihn sich als die Bewegung eines Punktes vorstellen, die im Anfangspunkt beginnt und ohne Richtungsänderung auf einer Geraden weitergeht.

Ein Strahl ist nur einseitig begrenzt. Eine Strecke ist dagegen an beiden Seiten begrenzt, während eine Gerade in beide Richtungen unbegrenzt ist. Der Strahl ist somit ein Teil einer Geraden.

Bezeichnungen und eindeutige Bestimmung

Der Punkt A zerlegt die orientierte Gerade g in die Halbgeraden g_A^- und g_A^+. Ein Strahl ist durch seinen Anfangspunkt A und einen weiteren Punkt B auf dem Strahl eindeutig bestimmt. B gibt die Richtung an. Man spricht deshalb vom Strahl mit dem Ursprung A in Richtung B.

Übliche Bezeichnungen sind [AB oder →AB. Die Schreibweise [AB bringt zum Ausdruck, dass der Strahl durch A begrenzt wird, sich aber über B hinaus erstreckt. Gehört der Anfangspunkt zum Strahl, handelt es sich um eine abgeschlossene Halbgerade; gehört er nicht dazu, handelt es sich um eine offene Halbgerade.

Jeder Punkt A auf einer Geraden g teilt diese in zwei komplementäre Strahlen h_1 und h_2 mit gemeinsamem Anfangspunkt A. Für eine logisch strenge Definition gibt es zwei Möglichkeiten: Bei einer orientierten Geraden wird eine Halbgerade als die Menge aller Punkte vor A und die andere als die Menge aller Punkte hinter A definiert. Mit der Zwischen-Relation lässt sich [AB als die Menge aller Punkte X auf der Geraden AB definieren, für die A nicht zwischen B und X liegt.

Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade [AB der Menge aller Punkte X, deren Ortsvektor durch die Parametergleichung

x⃗ = a⃗ + λ(b⃗ − a⃗) mit λ ≥ 0

gegeben ist. Dabei sind a⃗ und b⃗ die Ortsvektoren der Punkte A und B. λ ist ein reeller Parameter. Für eine offene Halbgerade wird der Parameter auf echt positive Werte eingeschränkt, also auf λ > 0.