Ansatz (Mathematik)

Bedeutung und Grundprinzip

Ein Ansatz ist in Mathematik und Physik ein heuristisches, also auf begründeten Vermutungen beruhendes, Verfahren zum Lösen einer Gleichung oder eines Gleichungssystems. Man nimmt zunächst an, dass die gesuchte Lösungsfunktion eine bestimmte Form hat, etwa die eines Polynoms oder einer Exponentialfunktion. Diese angenommene Form kann freie, zunächst unbekannte Parameter enthalten.

Die Anzahl dieser Parameter soll der Anzahl der zu erfüllenden Gleichungen entsprechen. Setzt man die angenommene Funktion in die Ausgangsgleichungen ein, entstehen algebraische Gleichungen für die Parameter. Diese sind meist deutlich leichter zu lösen als die ursprünglichen Gleichungen. Mit „Ansatz“ kann sowohl das Verfahren als auch die konkrete Funktionsannahme gemeint sein, zum Beispiel f(x)=A·exp(-x)+B.

Wahl und Grenzen eines Ansatzes

Ansätze werden nach der Form der angenommenen Lösungsfunktion benannt, etwa Exponentialansatz oder Potenzreihenansatz. Häufig gibt das Problem jedoch keine eindeutigen Hinweise darauf, welche Form gewählt werden soll. Das ist eine wichtige Einschränkung: Die geeignete Annahme muss oft kreativ aus der Form der Gleichungen oder, bei physikalischen Problemen, aus Eigenschaften des beobachteten Systems abgeleitet werden.

Manchmal ist ein Ansatz die einzige Möglichkeit, eine Gleichung zu lösen; oft verringert er zumindest den Lösungsaufwand. Viele Probleme lassen sich mit bekannten Ansätzen bearbeiten, bei anderen müssen neue Ansätze entwickelt oder bestehende kombiniert werden. Besonders wichtig ist das Verfahren in der Integralrechnung und beim Lösen von Differentialgleichungen, weil dort im Unterschied zur Differentialrechnung keine eindeutig vorgegebenen Lösungsverfahren bestehen. Es ist von Verfahren wie Substitution und partieller Integration zu unterscheiden: Diese vereinfachen die Ausgangsgleichung durch deren Modifikation, während ein Ansatz eine Form für die Lösung vermutet.

Beispiel einer Differentialgleichung

Für die Differentialgleichung x'(t)=-3·x(t) ist eine Exponentialfunktion naheliegend, weil sie beim Ableiten nach der Variablen in ihrem Argument bis auf einen Vorfaktor gleich bleibt. Man setzt daher x(t)=exp(A·t) an. Einsetzen liefert A·x(t)=-3·x(t). Da x nach diesem Ansatz stets größer als Null ist, folgt A=-3 und damit x(t)=exp(-3·t).

Kommt zusätzlich die Anfangsbedingung x(0)=2 hinzu, werden zwei Parameter benötigt, damit das entstehende algebraische Gleichungssystem nicht überbestimmt ist, also nicht mehr Gleichungen als Variablen enthält. Mit x(t)=C·exp(A·t) erhält man A·x(t)=-3·x(t) und C=2. Die Lösungsfunktion lautet dann x(t)=2exp(-3·t).

Bekannte Formen

Zu den bekannten Ansätzen gehören der Exponentialansatz, der Polynomialansatz, der Potenzreihenansatz, der Potenzproduktansatz und der Separationsansatz. Der Exponentialansatz wird beispielsweise bei der inhomogenen Schwingungsgleichung in der klassischen Mechanik verwendet. Beispiele für den Separationsansatz sind der dreidimensionale harmonische Oszillator und das Wasserstoffatom in der Quantenmechanik.