Drehung

Definition und grundlegende Eigenschaften

Eine Drehung ist in der Geometrie eine Selbstabbildung des euklidischen Raumes mit mindestens einem Fixpunkt, die alle Abstände invariant lässt und die Orientierung erhält. Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der durch die Abbildung unverändert bleibt. Werden die Abstände erhalten, bleiben auch die Winkel erhalten. Deshalb ist jede Drehung eine Kongruenzabbildung.

Eine Drehung wird durch einen Drehwinkel beschrieben. Drehungen, deren Drehwinkel sich um 360° oder ein Vielfaches von 360° unterscheiden, sind identisch. Wird die Orientierung dagegen vertauscht, handelt es sich um eine Spiegelung oder eine Drehspiegelung.

Drehungen in Ebene und Raum

In der Ebene besitzt jede echte Drehung, also jede Drehung mit einem von null verschiedenen Winkel, genau einen Fixpunkt. Dieser Punkt heißt Drehzentrum Z. Ist P ein anderer Punkt und P′ sein Bild, dann ist der Winkel PZP′ unabhängig von der Wahl von P und legt den Drehwinkel fest. Eine Drehung um 180° bildet die Ebene genauso ab wie eine Punktspiegelung am Drehzentrum Z.

Im dreidimensionalen Raum besitzt jede echte Drehung genau eine fest bleibende Gerade, die Drehachse. Jede Ebene, die senkrecht zur Drehachse steht, wird um denselben Drehwinkel gedreht. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Drehachse ist dabei ihr Fixpunkt.

In der analytischen Geometrie sind Drehungen spezielle längentreue affine Abbildungen. Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung auf der Drehachse, verschwindet der translatorische Anteil. Die Drehung kann dann durch eine Drehmatrix beschrieben werden. In homogenen Koordinaten lässt sich auch eine Drehung mit Translationsanteil als Matrix darstellen.

Eine Drehung um 180° mit dem Drehzentrum Z kann außerdem als Doppelspiegelung an zwei zueinander senkrechten Achsen g und h dargestellt werden.