Koordinatensystem

Grundidee und Ursprung

Ein mathematisches Koordinatensystem beschreibt Punkte eindeutig mithilfe von Zahlen, den Koordinaten. Auf einer Geraden genügt eine reelle Zahl, in der Ebene braucht ein Punkt zwei reelle Zahlen, im Raum drei und bei raumzeitlichen Gebilden vier. Dieselbe Lage kann in unterschiedlichen Koordinatensystemen unterschiedliche Koordinatenwerte haben.

Die geordnete Menge der Koordinaten heißt meist n-Tupel. Der ausgezeichnete Punkt, dessen Koordinaten alle 0 sind, heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Je nach Wahl des Ursprungs und der Achsen entstehen verschiedene Koordinatensysteme. In einem endlichdimensionalen Vektorraum heißen Koordinaten eines Vektors Komponenten; in einem Produkt von Mengen heißen sie Projektionen auf einen Faktor.

Nicht jedes geometrische Objekt lässt sich vollständig und sinnvoll mit einem einzigen globalen Koordinatensystem beschreiben: Die Kugeloberfläche kann beispielsweise nicht kontinuierlich und eins-zu-eins Zahlenpaaren zugeordnet werden. Dafür verwendet man lokale Koordinaten.

Zahlengerade und kartesische Koordinaten

Die Zahlengerade identifiziert die Punkte einer Geraden mit den reellen Zahlen. Man wählt einen Ursprung O. Die Koordinate eines Punktes P ist sein vorzeichenbehafteter Abstand von O: Je nach Seite der Geraden wird der Abstand positiv oder negativ gezählt. Dadurch besitzt jeder Punkt genau eine Koordinate und jede reelle Zahl gehört zu genau einem Punkt.

Im kartesischen Koordinatensystem der Ebene werden zwei zueinander senkrechte Geraden gewählt. Die zwei Koordinaten eines Punktes sind seine vorzeichenbehafteten Abstände zu diesen Geraden. Im dreidimensionalen Raum wählt man drei zueinander orthogonale Ebenen; die drei Koordinaten sind die vorzeichenbehafteten Abstände zu den Ebenen. Das Prinzip lässt sich auf den n-dimensionalen euklidischen Raum übertragen. Dreidimensionale kartesische Systeme können je nach Anordnung der Achsen Rechts- oder Linkssysteme sein.

Affine und polare Koordinaten

Für affine Koordinaten wählt man in der euklidischen Ebene drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte P₀, P₁, P₂. Die Vektoren \overrightarrow{P_0P_1} und \overrightarrow{P_0P_2} sind dann linear unabhängig. Mit P₀ als Ursprung gilt für jeden Punkt P:

\overrightarrow{P_0P}=u\overrightarrow{P_0P_1}+v\overrightarrow{P_0P_2}.

Dem Punkt P werden die affinen Koordinaten (u,v)_a zugeordnet. Bilden die beiden Basisvektoren eine Orthonormalbasis, erhält man kartesische Koordinaten. Sind sie nicht orthogonal, heißen die Koordinaten schiefwinklig. Affine Koordinaten lassen sich auch in höheren Dimensionen und allgemein in n-dimensionalen affinen Räumen über einem Körper definieren.

Polarkoordinaten gelten nur für die Ebene und bestehen aus (r,\phi). Man wählt einen Pol und einen von ihm ausgehenden Strahl als Polachse. r ist der Abstand vom Pol, \phi der gegen den Uhrzeigersinn gemessene Winkel von der Polachse. Ein Koordinatenpaar bestimmt genau einen Punkt, aber ein Punkt kann mehrere Paare besitzen: (r,\phi) und (r,\phi+2\pi) bezeichnen denselben Punkt. Der Pol ist (0,\phi) für jeden Wert von \phi.

Räumliche, elliptische und lokale Systeme

Zylinderkoordinaten erweitern Polarkoordinaten durch die kartesische Höhe z zu (r,\phi,z). Kugelkoordinaten geben einen Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel an. Geographische Koordinaten teilen die Erde in Längen- und Breitengrade ein; der Abstand vom Erdmittelpunkt ist dort nicht relevant.

Elliptische Koordinaten beruhen auf sich senkrecht schneidenden Systemen konfokaler Ellipsen und Hyperbeln. Sie sind für die Brennpunkte und die Punkte dazwischen nicht definiert. Die räumliche Entsprechung sind Ellipsoid-Koordinaten mit konfokalen Ellipsoiden sowie einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden. Ellipsoidische Koordinaten beschreiben Punkte eines Rotations-Ellipsoids, etwa der Erde.

Eine Koordinatenkarte ist ein lokales Koordinatensystem für eine Teilmenge eines geometrischen Objekts. Sie ist genauer ein Homöomorphismus von einer offenen Teilmenge eines Raumes zu einer offenen Teilmenge von \mathbb{R}^n. Eine Mannigfaltigkeit besitzt an jedem Punkt solche miteinander verträglichen Karten; ihre Gesamtheit heißt Atlas. Lokale Basisvektoren sind Tangentenvektoren an Koordinatenlinien, also Kurven, auf denen bis auf eine Koordinate alle konstant sind. Bei Kugelkoordinaten (r,\theta,\varphi) entstehen Halbgeraden für r, Meridiane für \theta und Breitenkreise für \varphi. Nach Normierung erhält man \vec e_r,\vec e_\theta,\vec e_\varphi, die paarweise senkrecht sind.

Darstellungen und Umrechnungen

Parameterdarstellungen von Flächen können als deren Koordinatensysteme verstanden werden, beispielsweise für eine Ebene, eine Kugeloberfläche mit geographischer Länge und Breite oder ein Ellipsoid. Koordinatentransformationen rechnen die Koordinaten eines Systems in die eines anderen um.

Homogene Koordinaten beschreiben einen Punkt der euklidischen Ebene P=(x,y) mit drei Koordinaten (x_1:x_2:x_3), wobei (x_1:x_2:x_3) und (cx_1:cx_2:cx_3) für jedes c\ne0 denselben Punkt darstellen. Eine Standardzuordnung lautet P=(x:y:1); P=(x:y:1-x-y) liefert baryzentrische Koordinaten. Punkte der Ferngerade lassen sich damit einfach beschreiben: im Standardfall durch x_3=0, im baryzentrischen Fall durch x_1+x_2+x_3=0. In der Dreiecksgeometrie werden außerdem trilineare Koordinaten verwendet.