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Vorzeichenwechsel
Ein Vorzeichenwechsel ist in der Mathematik ein Wechsel des Vorzeichens der Funktionswerte einer reellen Funktion an einer Stelle oder innerhalb eines …
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Grundidee und Definition an einer Stelle
Ein Vorzeichenwechsel ist ein Wechsel des Vorzeichens von Funktionswerten einer reellen Funktion. Er kann an einer bestimmten Stelle oder innerhalb eines Intervalls auftreten. Wichtig ist der Begriff, weil er beim Finden von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten hilft.
Für eine reelle Funktion f: [a,b] -> R liegt an einer Stelle x_0 in (a,b) ein Vorzeichenwechsel vor, wenn die Funktionswerte links und rechts von x_0 unterschiedliche Vorzeichen haben. Von plus nach minus bedeutet: Es gibt ein epsilon > 0, sodass f(x) > 0 für alle x in (x_0 - epsilon, x_0) und f(x) < 0 für alle x in (x_0, x_0 + epsilon) gilt. Von minus nach plus bedeutet entsprechend: f(x) < 0 links von x_0 und f(x) > 0 rechts von x_0.
Ist f stetig, dann durchdringt der Graph an der Stelle x_0 die x-Achse. Kein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn der Graph die x-Achse dort nur berührt. Hat f an x_0 eine senkrechte Asymptote, spricht man von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Extrema mit dem Vorzeichenwechselkriterium
In der Kurvendiskussion ist das Vorzeichenwechselkriterium eine hinreichende Bedingung für ein Extremum. Ein Extremum ist ein lokaler Hoch- oder Tiefpunkt einer Funktion.
Eine differenzierbare reelle Funktion f: [a,b] -> R besitzt an x_0 in (a,b) ein Extremum, wenn f'(x_0) = 0 ist und die Ableitung f' an der Stelle x_0 das Vorzeichen wechselt. Die Ableitung f' beschreibt die Steigung der Funktion.
Wechselt f' von plus nach minus, dann hat f an x_0 ein lokales Maximum. Die Funktion ist dann für x < x_0 streng monoton steigend und für x > x_0 streng monoton fallend.
Wechselt f' von minus nach plus, dann hat f an x_0 ein lokales Minimum. Dann ist f für x < x_0 streng monoton fallend und für x > x_0 streng monoton steigend.
Wendepunkte und Krümmung
Das Vorzeichenwechselkriterium wird auch zur Bestimmung von Wendepunkten verwendet. Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ändert.
Eine zweimal differenzierbare reelle Funktion f: [a,b] -> R besitzt an x_0 in (a,b) einen Wendepunkt, wenn f''(x_0) = 0 ist und die zweite Ableitung f'' an der Stelle x_0 das Vorzeichen wechselt. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktion.
Wechselt f'' von plus nach minus, dann ändert sich das Krümmungsverhalten von konvex nach konkav. Dabei ist f' für x < x_0 streng monoton steigend und für x > x_0 streng monoton fallend.
Wechselt f'' von minus nach plus, dann ändert sich das Krümmungsverhalten von konkav nach konvex. In diesem Fall ist f' für x < x_0 streng monoton fallend und für x > x_0 streng monoton steigend.
Vorzeichenwechsel in einem Intervall
Eine reelle Funktion f: [a,b] -> R weist in dem Intervall [a,b] einen Vorzeichenwechsel auf, wenn es zwei verschiedene Stellen alpha, beta in [a,b] gibt, für die f(alpha) · f(beta) <= 0 gilt. Das bedeutet: Die Funktionswerte an diesen beiden Stellen haben unterschiedliche Vorzeichen oder mindestens einer der Werte ist gleich null.
Gilt sogar f(alpha) · f(beta) < 0, dann spricht man von einem echten Vorzeichenwechsel. Dann haben f(alpha) und f(beta) wirklich entgegengesetzte Vorzeichen.
Nullstellensatz und numerische Verwendung
Der Nullstellensatz, auch Nullstellensatz von Bolzano nach Bernard Bolzano, verbindet Vorzeichenwechsel mit Nullstellen. Eine Nullstelle ist eine Lösung x_0 der Gleichung f(x) = 0.
Weist eine stetige reelle Funktion f in einem Intervall [a,b] einen Vorzeichenwechsel auf, dann besitzt sie in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle. Die Begründung nutzt eine Intervallschachtelung: Aus zwei Stellen alpha != beta mit f(alpha) · f(beta) <= 0 wird ein Intervall [alpha_0, beta_0] mit alpha_0 = alpha und beta_0 = beta gebildet. Dieses Intervall wird wiederholt halbiert, und jeweils wird das Teilintervall gewählt, in dem die Bedingung f(alpha_n) · f(beta_n) <= 0 erhalten bleibt. Die Nullstelle ergibt sich als x_0 = lim_{n -> infinity} alpha_n = lim_{n -> infinity} beta_n.
Eine Verallgemeinerung dieser Aussage ist der Zwischenwertsatz.
In der numerischen Mathematik werden endliche Intervallschachtelungen verwendet, um Nullstellen näherungsweise zu bestimmen. Das geschieht zum Beispiel im Bisektionsverfahren und im Regula-falsi-Verfahren, wenn zwei Stellen mit unterschiedlichen Vorzeichen bekannt sind. In der Optimierung nutzt man solche Verfahren auch zur Bestimmung von Minima oder Maxima einer stetig differenzierbaren Funktion, indem Nullstellen der ersten Ableitung näherungsweise gesucht werden.
Vorzeichenwechsel in Folgen und Polynomen
Bei Folgen reeller Zahlen bedeutet ein Vorzeichenwechsel, dass zwei aufeinanderfolgende von null verschiedene Folgenglieder unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist (a_n) eine Folge reeller Zahlen, die alle ungleich null sind, dann ist ein Vorzeichenwechsel ein Indexpaar (i, i+1), für das a_i · a_{i+1} < 0 gilt.
Für beliebige reelle Folgen werden zuerst die Nullen ausgelassen; die Vorzeichenwechsel werden dann in der Teilfolge der von null verschiedenen Elemente gezählt. Die Folge 2, 0, 1, 0, 0, -2, 2, 1, 0, -1 besitzt genau drei Vorzeichenwechsel.
Vorzeichenwechsel von Koeffizientenfolgen helfen bei der Untersuchung von Nullstellen reeller Polynome. Nach der Vorzeichenregel von Descartes ist die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms gleich oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als die Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge. Dabei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.
Ein weiteres Werkzeug sind sturmsche Ketten. Ist P ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und sigma(a) die Anzahl der Vorzeichenwechsel der endlichen Folge der Funktionswerte der sturmschen Kette von P an der Stelle a, dann ist nach der Regel von Sturm die Anzahl der Nullstellen von P im halboffenen Intervall (a,b] gleich sigma(a) - sigma(b).
