Nullstelle

Begriff und Definition

Eine Nullstelle einer Funktion ist ein Wert aus ihrem Definitionsbereich, dem die Funktion den Wert 0 zuordnet. Für eine Funktion f: D → ℝ mit D ⊆ ℝ ist x₀ genau dann eine Nullstelle, wenn f(x₀) = 0 gilt. Man sagt auch, f habe bei x₀ eine Nullstelle oder verschwinde an dieser Stelle.

Wird die Funktion durch den Graphen y = f(x) in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt, liegen die Nullstellen auf der x-Achse. Bei stetigen Funktionen sind sie Schnittpunkte oder Berührungspunkte des Graphen mit der x-Achse. Nullstellen von Polynomfunktionen heißen auch Wurzeln.

Beispiel: Für f(x) = x² − 9 sind 3 und −3 Nullstellen, denn f(3) = 3² − 9 = 0 und f(−3) = (−3)² − 9 = 0. Die Zahl 0 ist keine Nullstelle, da f(0) = −9 ≠ 0.

Mehrfache Nullstellen und Vielfachheit

Ist f stetig und an der Nullstelle x₀ differenzierbar, kann man den Faktor (x − x₀) herausdividieren. Es gibt dann eine in x₀ stetige Funktion g mit f(x) = (x − x₀)g(x). Gilt g(x₀) ≠ 0, heißt x₀ einfache Nullstelle. Gilt dagegen g(x₀) = 0, bleibt x₀ auch nach dem Herausdividieren Nullstelle; x₀ ist dann eine mehrfache Nullstelle.

Für eine differenzierbare Funktion gilt: Eine Nullstelle x₀ ist genau dann mehrfach, wenn f′(x₀) = 0 ist. Allgemeiner besitzt eine mindestens (k − 1)-mal differenzierbare Funktion f auf einer offenen Menge D ⊆ ℝ in x₀ eine mindestens k-fache Nullstelle, wenn f(x₀) = f′(x₀) = f″(x₀) = … = f⁽ᵏ⁻¹⁾(x₀) = 0.

Ist f mindestens k-mal differenzierbar und gilt zusätzlich f⁽ᵏ⁾(x₀) ≠ 0, so hat die Nullstelle genau die Ordnung beziehungsweise Vielfachheit k. Eine k-fache Nullstelle von f liegt genau dann vor, wenn f eine Nullstelle und f′ eine (k − 1)-fache Nullstelle bei x₀ hat. Außerdem gilt bei geeigneter Differenzierbarkeit: f(x) = (x − x₀)ᵏg(x) mit stetigem g und g(x₀) ≠ 0.

Beispiel 1: Für f(x) = x³ − 3x² + 3x − 1 gilt f(1) = 0, f′(1) = 0, f″(1) = 0, aber f‴(1) = 6 ≠ 0. Daher ist 1 eine dreifache, aber keine vierfache Nullstelle.

Beispiel 2: Beim Polynom x⁶ − 14x⁵ + 80x⁴ − 238x³ + 387x² − 324x + 108 sind 1, 2 und 3 Nullstellen. Es gilt f′(1) = −8, f′(2) = 0 und f″(2) = −2 sowie f′(3) = 0, f″(3) = 0 und f⁽³⁾(3) = 12. Somit ist 1 einfach, 2 doppelt und 3 dreifach.

Die Funktion f(x) = exp(−1/x²) für x ≠ 0 und f(0) = 0 besitzt bei 0 eine Nullstelle unendlicher Ordnung und ist daher nicht analytisch.

Existenz und näherungsweise Berechnung

Der Zwischenwertsatz liefert unter bestimmten Voraussetzungen die Existenz einer Nullstelle: Ist f stetig und haben f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen, dann besitzt f zwischen a und b mindestens eine Nullstelle. Anschaulich muss der Graph, der die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) verbindet, die x-Achse schneiden.

Die Nullstellengleichung f(x) = 0 lässt sich je nach Funktion möglicherweise nicht explizit nach x auflösen. Dann können Näherungswerte mit numerischen Verfahren bestimmt werden. Für stetige Funktionen eignen sich beispielsweise die Bisektion beziehungsweise das Intervallhalbierungsverfahren, die Regula falsi oder eine geeignete Fixpunktiteration. Für differenzierbare Funktionen gibt es unter anderem das Newton- und das Halley-Verfahren. Für Polynome werden auch das Weierstraß- beziehungsweise Durand-Kerner-Verfahren und das Bairstow-Verfahren verwendet.

Polynomfunktionen und ihre Nullstellen

Ist R ein Ring und p ∈ R[X] ein Polynom über R, so heißt x ∈ R Nullstelle von p, wenn p(x) = 0 gilt. Über einen Ringhomomorphismus R → S können Nullstellen auch in S betrachtet werden.

Mithilfe der Polynomdivision gilt: x ist genau dann Nullstelle von p, wenn p durch X − x teilbar ist. Es existiert dann ein Polynom q mit p(X) = (X − x)q(X). Diese Aussage wird teilweise Nullstellensatz genannt; dabei besteht Verwechslungsgefahr mit dem hilbertschen Nullstellensatz. Eine k-fache Nullstelle ist ein Element x, für das p durch (X − x)ᵏ teilbar ist; k heißt auch Vielfachheit oder Multiplizität.

Für Polynome über einem Körper gibt es für Grade höchstens vier allgemeine Lösungsformeln mit Radikalen: Grad 1 wird durch die lineare, Grad 2 durch die quadratische, Grad 3 durch die kubische und Grad 4 durch die quartische Gleichung behandelt. Das Polynom ax + b besitzt für a ≠ 0 die Nullstelle x = −b/a. Für a = 0 gibt es bei b ≠ 0 keine und bei b = 0 unendlich viele Nullstellen. Allgemeine Polynome fünften und höheren Grades können nach dem Satz von Abel-Ruffini nicht durch Radikale dargestellt werden. Welche speziellen Polynome dennoch durch Radikale lösbar sind, untersucht die Galoistheorie.

Besondere Eigenschaften von Polynomen

Bei einem Polynom aₙXⁿ + aₙ₋₁Xⁿ⁻¹ + … + a₁X + a₀ mit ganzzahligen Koeffizienten ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Absolutglieds a₀. Für ein normiertes Polynom Xⁿ + aₙ₋₁Xⁿ⁻¹ + … + a₁X + a₀ folgt aus dem Lemma von Gauß außerdem, dass jede rationale Nullstelle ganzzahlig und damit ein Teiler von a₀ ist. Beim Polynom p(X) = X³ − X − 2 sind die Teiler −2, −1, 1 und 2 keine Nullstellen. Daher besitzt p keine rationale Nullstelle und ist über ℚ irreduzibel.

Polynome ungeraden Grades über ℝ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle. Zählt man Nullstellen mit ihrer Vielfachheit, besitzen Polynome geraden beziehungsweise ungeraden Grades stets eine gerade beziehungsweise ungerade Anzahl reeller Nullstellen. Nichtreelle Nullstellen reeller Polynome treten als komplex konjugierte Paare auf. Beispiel: X³ − 2X + 4 hat die Nullstelle −2 und zerfällt als (X + 2)(X² − 2X + 2). Die weiteren Nullstellen sind 1 + i und 1 − i.

Sind bei P(X) = Xⁿ + aₙ₋₁Xⁿ⁻¹ + … + a₁X + a₀ alle Nullstellen reell, liegen sie im Intervall mit den Endpunkten x₁,₂ = −aₙ₋₁/n ± (n − 1)/n · √(aₙ₋₁² − (2n/(n − 1))aₙ₋₂). Für P(X) = X⁴ + 5X³ + 5X² − 5X − 6 mit den Nullstellen −3, −2, −1 und 1 ergibt sich gerundet I = [−3,812; 1,312]. Für n = 2 wird die Formel zur p-q-Formel.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom über ℂ mindestens eine Nullstelle besitzt. Deshalb lässt sich jedes Polynom p(X) = aₙXⁿ + … + a₀ mit aₙ ≠ 0 als p(X) = aₙ(X − x₁)ᵐ¹ … (X − xₖ)ᵐᵏ schreiben; x₁, …, xₖ sind die verschiedenen Nullstellen und m₁, …, mₖ ihre Vielfachheiten.

Für einen vollständig bewerteten Körper K mit Bewertungsring A und Restklassenkörper k folgt aus dem henselschen Lemma: Hat die Reduktion eines normierten Polynoms p ∈ A[X] eine einfache Nullstelle in k, besitzt p eine Nullstelle in A. Für K = ℚₚ gilt A = ℤₚ und k = 𝔽ₚ. Das Polynom Xᵖ⁻¹ − 1 ∈ ℤₚ[X] zerfällt über 𝔽ₚ in verschiedene Linearfaktoren und hat daher über ℤₚ genau p − 1 Nullstellen; ℤₚ enthält somit (p − 1)-te Einheitswurzeln.