Zwischenwertsatz

Kernaussage und Bedeutung

Der Zwischenwertsatz ist ein grundlegender Satz der Analysis über stetige reelle Funktionen. Seien a,b ∈ ℝ mit a < b und f:[a,b] → ℝ stetig. Dann nimmt f jeden Wert u zwischen f(a) und f(b) mindestens einmal an: Es gibt ein c ∈ [a,b] mit f(c)=u.

Für f(a)<f(b) gilt genauer: Zu jedem u ∈ (f(a),f(b)) existiert ein c ∈ (a,b) mit f(c)=u. Entsprechend gilt dies für u ∈ (f(b),f(a)), falls f(b)<f(a). Mit m:=min{f(a),f(b)} und M:=max{f(a),f(b)} lässt sich die Aussage als [m,M] ⊆ f([a,b]) schreiben.

Anschaulich kann der Graph einer stetigen Funktion nicht von einem Funktionswert zu einem anderen gelangen, ohne alle dazwischenliegenden Werte anzunehmen. Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, muss daher mindestens eine Nullstelle in (a,b) liegen. Dieser Sonderfall heißt Nullstellensatz von Bolzano. Zwischenwertsatz und Nullstellensatz können jeweils auseinander hergeleitet werden und sind somit äquivalent.

Beweis durch Intervallschachtelung

Für den Beweis wird zunächst ein endliches abgeschlossenes Intervall [a,b] betrachtet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei f(a)<f(b), und u ∈ [f(a),f(b)]. Man definiert die stetige Funktion g:[a,b] → ℝ durch g(x)=f(x)−u. Dann gilt g(a)≤0≤g(b). Es genügt, eine Nullstelle c von g zu finden, denn g(c)=0 ist gleichbedeutend mit f(c)=u.

Dazu wird rekursiv eine Folge geschachtelter Intervalle [aₖ,bₖ] konstruiert. Man beginnt mit a₁=a und b₁=b. Der Mittelpunkt des k-ten Intervalls ist cₖ=(aₖ+bₖ)/2. Falls g(cₖ)<0 gilt, wählt man [aₖ₊₁,bₖ₊₁]=[cₖ,bₖ]; andernfalls wählt man [aₖ₊₁,bₖ₊₁]=[aₖ,cₖ]. Dadurch bleibt für alle k die Vorzeichenbedingung g(aₖ)≤0≤g(bₖ) erhalten.

Die Folge (aₖ) ist monoton steigend, die Folge (bₖ) monoton fallend. Gleichzeitig halbiert sich die Intervalllänge in jedem Schritt. Für dₖ=bₖ−aₖ gilt daher dₖ₊₁=dₖ/2 und somit dₖ=d₁·(1/2)^(k−1). Da (dₖ) eine Nullfolge ist, bilden die Intervalle eine Intervallschachtelung und besitzen genau einen gemeinsamen Punkt c ∈ [a,b].

Es gilt limₖ→∞ aₖ=c=limₖ→∞ bₖ. Wegen der Stetigkeit von g folgt limₖ→∞ g(aₖ)=g(c)=limₖ→∞ g(bₖ). Aus g(aₖ)≤0 ergibt sich g(c)≤0, und aus g(bₖ)≥0 ergibt sich g(c)≥0. Folglich ist g(c)=0 und damit f(c)=u. Eine endliche Anzahl solcher Halbierungsschritte bildet die Grundlage des numerischen Verfahrens der Bisektion.

Alternativer Beweis mit dem Infimum

Auch der alternative Beweis betrachtet f(a)<f(b) und einen Wert u ∈ (f(a),f(b)). Man setzt M={x ∈ [a,b] | u<f(x)}. Die Menge ist nicht leer, weil b ∈ M, und sie ist beschränkt. Deshalb existiert ihr Infimum, also ihre größte untere Schranke:

c:=inf M=inf{x ∈ [a,b] | u<f(x)}.

Es gibt eine Folge (xₙ) in M, die gegen c konvergiert. Dazu kann man für jedes n ein xₙ ∈ M mit c≤xₙ<c+1/n wählen. Aus der Stetigkeit folgt f(xₙ)→f(c). Weil f(xₙ)>u gilt, erhält man f(c)≥u. Insbesondere ist c>a, da f(a)<u.

Für alle hinreichend großen n liegt cₙ:=c−1/n in [a,b]. Wegen cₙ<c=inf M kann cₙ nicht zu M gehören, sodass f(cₙ)≤u gilt. Da cₙ→c und f stetig ist, folgt f(c)=limₙ→∞ f(cₙ)≤u. Zusammen mit f(c)≥u ergibt sich f(c)=u.

Beispiel und wichtige Folgerungen

Die Kosinusfunktion cos ist auf [0,2] stetig. Es gilt cos(0)=1 und cos(2)≈−0,4161<0. Da die Funktionswerte an den Intervallenden verschiedene Vorzeichen haben, garantiert der Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in (0,2). Tatsächlich liegt dort genau eine Nullstelle, nämlich π/2.

Allgemeiner gilt: Ist I ⊆ ℝ ein beliebiges reelles Intervall und f:I → ℝ stetig, dann ist auch das Bild f(I) ein Intervall. Eine stetige Funktion kann also innerhalb ihres Wertebereichs keine Zwischenwerte auslassen.

Eine weitere Folgerung ist der Karl Weierstraß zugerechnete weierstraßsche Nullstellensatz: Jede reelle Polynomfunktion f:ℝ → ℝ, deren Grad deg(f) ungerade ist, besitzt mindestens eine reelle Nullstelle.

Verallgemeinerung und Ableitungen

In der Topologie ist der Zwischenwertsatz ein Spezialfall des allgemeineren Satzes: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes unter einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend. Eine Menge heißt dabei zusammenhängend, wenn sie sich nicht in zwei voneinander getrennte nichtleere Teile zerlegen lässt. Für Teilmengen der reellen Zahlen gilt: Sie sind genau dann zusammenhängend, wenn sie Intervalle sind. Daraus folgt die Aussage des Zwischenwertsatzes für reelle Funktionen. Diese Sichtweise erfasst auch beliebige sowie unbeschränkte reelle Intervalle.

Eine entsprechende Zwischenwerteigenschaft besitzen Ableitungen nach dem Satz von Darboux: Ist f:[a,b] → ℝ differenzierbar und gilt f′(a)≠f′(b), dann nimmt die Ableitungsfunktion f′ jeden Wert zwischen f′(a) und f′(b) an.