Variationsrechnung

Kernidee und Grundbegriffe

Die Variationsrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis. Sie untersucht kleine Änderungen von Funktionen und Funktionalen, um Minima, Maxima oder Sattelpunkte von Funktionalen zu bestimmen. Ein Funktional ist eine reelle Funktion von Funktionen; es ordnet also einer ganzen Funktion eine Zahl zu. Typische Funktionale sind Integrale, in denen eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen vorkommen.

Gesucht werden stationäre Funktionen. Das sind Funktionen, bei denen ein Funktional ein Extremum, also ein Maximum oder Minimum, oder einen Sattelpunkt annimmt. Solche Probleme sind unendlichdimensionale Optimierungsprobleme, weil nicht nur einzelne Zahlen, sondern ganze Funktionen variiert werden.

Das zentrale Werkzeug ist die Euler-Lagrange-Gleichung, genauer die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung. Sie beschreibt eine notwendige Bedingung dafür, dass eine Funktion stationär ist. Wie bei Extremwertaufgaben für gewöhnliche Funktionen betrachtet man kleine Änderungen um eine vermutete Lösung. Die Euler-Lagrange-Gleichung garantiert jedoch allein noch nicht, dass wirklich ein Minimum oder Maximum vorliegt. Weitere notwendige Bedingungen stammen von Adrien-Marie Legendre, Alfred Clebsch und Carl Gustav Jacob Jacobi; eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung stammt von Karl Weierstraß.

Bedeutung und Anwendungen

Ein klassisches Beispiel ist das Brachistochronenproblem: Gesucht ist die Kurve in einem Schwerefeld, auf der ein Objekt von einem Punkt A zu einem tiefer liegenden Punkt B in der kürzesten Zeit gelangt. Der Punkt B liegt unterhalb, aber nicht direkt unter A. Von allen Kurven zwischen A und B minimiert eine Kurve ein Integral, das die Durchlaufzeit beschreibt. Dieses Integral enthält die gesuchte Funktion, die die Kurve beschreibt, und deren Ableitungen.

In der Physik ist die Variationsrechnung die mathematische Grundlage vieler Extremalprinzipien. Sie ist besonders wichtig in der theoretischen Physik, zum Beispiel im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik, bei der Bahnbestimmung, in der Quantenmechanik beim Prinzip der kleinsten Wirkung und in der statistischen Physik im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie.

Im Ingenieurwesen wird sie unter anderem in der Steuerungs- und Regelungstheorie genutzt, wenn Optimalregler bestimmt werden. Die aus dem Verfahren von Ritz weiterentwickelte Finite-Elemente-Methode findet zum Beispiel in der Strukturmechanik Anwendung.

In der Mathematik treten Variationsmethoden in Hilbertraum-Techniken, der Morsetheorie und der symplektischen Geometrie auf. Sie spielen auch in Geodäsie und Differentialgeometrie eine Rolle. Besonders wichtig sind sie bei Problemen minimaler Oberflächen, etwa im Zusammenhang mit Seifenblasen und dem Plateau-Problem, sowie bei partiellen Differentialgleichungen. Weitere Weiterentwicklungen sind Γ-Konvergenz und stochastische Variationsmethoden.

Direkte Methoden

Der Euler-Lagrange-Ansatz ist oft wirksam, um Extremalen von Funktionalen zu finden. Eine Extremale ist eine Funktion, die als Kandidatin für ein Extremum des Funktionals infrage kommt. Bei mehreren Variablen wird die Euler-Lagrange-Gleichung jedoch zu einer partiellen Differentialgleichung, und eine explizite Lösung ist dann häufig nicht möglich.

Die direkten Methoden der Variationsrechnung fragen allgemeiner: Unter welchen Bedingungen können Funktionale minimiert werden? Dabei werden stark Methoden der Funktionalanalysis verwendet. Wichtige Beiträge dazu stammen von Tonelli, Ascoli, Arzelà und Hilbert.

Zu den direkten Methoden gehören zum Beispiel das Approximationsverfahren nach Ritz und das Differenzenverfahren nach Euler. Die mathematische Theorie dazu hat Verbindungen zur konvexen Analysis. Der Übergang zu solchen Existenztheorien wurde auch durch Weierstraß’ Gegenbeispiel zum Dirichletschen Prinzip angestoßen.

Euler-Lagrange-Gleichung

Für ein Funktional der Form I = ∫ L dt ist die zentrale Stationaritätsbedingung δI(x, δx) = 0. Dabei ist δ die Variation, L die Lagrangefunktion und I das Funktional. In der klassischen Mechanik wird dies zur Lagrange-Gleichung.

Die Grundidee lässt sich so beschreiben: Statt das Funktional I direkt zu untersuchen, betrachtet man eine einparametrige Familie von Funktionen x_α, die bei α = 0 durch die vermutete stationäre Funktion x geht. Dann wird F(α) := I(x_α) zu einer gewöhnlichen reellen Funktion des Parameters α. Hat I bei x ein lokales Minimum, dann hat F bei α = 0 ein lokales Minimum. Deshalb gilt dF/dα bei α = 0 gleich 0, also d/dα I(x_α)|_{α=0} = 0.

Für zwei Zeitpunkte t_a und t_e mit t_e > t_a und eine zweimal stetig differenzierbare Lagrangefunktion L(t, x, v) wird die Wirkung definiert durch I(x) := ∫_{t_a}^{t_e} L(t, x(t), x˙(t)) dt. Die Funktionen x erfüllen feste Randbedingungen x(t_a)=x_a und x(t_e)=x_e. Durch Differentiation nach α, Anwendung der Kettenregel und partielle Integration erhält man die Euler-Lagrange-Gleichung:

∂₂L(t, x(t), x˙(t)) - d/dt ∂₃L(t, x(t), x˙(t)) = 0.

Hier bedeutet ∂₂ die Ableitung der Lagrangefunktion nach dem zweiten Argument, also nach x, und ∂₃ die Ableitung nach dem dritten Argument, also nach x˙. Der Randterm verschwindet, weil die Anfangs- und Endpunkte für alle erlaubten Variationen fest bleiben.

Die Größe, die in dieser Gleichung verschwinden muss, heißt Eulerableitung der Lagrangefunktion. In Physikbüchern wird die Ableitung nach dem Variationsparameter bei α = 0 oft selbst als Variation bezeichnet. Dann ist δx die Variation der Funktion x. Die Variation der Wirkung ist eine Linearform in diesen Variationen; ihre Koeffizienten heißen Variationsableitung des Funktionals I. Im beschriebenen Fall ist diese Variationsableitung gerade die Eulerableitung der Lagrangefunktion.

Hilfssatz, Nebenbedingungen und Verallgemeinerungen

Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Herleitung ist das Fundamentallemma der Variationsrechnung: Wenn eine stetige Funktion a bei Integration gegen alle zulässigen Testfunktionen b mit b(t_a)=b(t_e)=0 immer den Wert 0 ergibt, dann muss a identisch gleich 0 sein. Anschaulich kann man b so wählen, dass sie nur in einer kleinen Umgebung eines beliebigen Zeitpunkts t₀ positiv ist und sonst verschwindet. Wäre a dort nicht 0, entstünde ein Widerspruch.

Ist der Funktionenraum X ein affiner Raum, schreibt man Variationen häufig als x_α(t) := x(t) + α h(t), wobei h(t_a)=h(t_e)=0 gilt. Die Ableitung ∂α I(x+αh)|{α=0} ist dann die Gateaux-Ableitung des Funktionals I an der Stelle x in Richtung h. Wenn der Funktionenraum durch nichtlineare Nebenbedingungen eingeschränkt ist, kann die allgemeinere Betrachtung von Familien x_α günstiger sein.

Bei einem zusätzlichen einschränkenden Funktional J(x)=∫ j(t,x,x˙,x¨,…,x^(n)) d^d t mit der Bedingung J(x)=0 kann man analog zum reellen Fall Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Dann gilt δI/δx_i = λ δJ/δx_i für i=1,…,n und ein festes λ ∈ R.

Die Euler-Lagrange-Gleichung lässt sich auf höhere Ableitungen und mehrere Dimensionen übertragen. Für Funktionale der Art I(φ)=∫ L(φ(x), ∂₁φ(x), …, ∂_dφ(x), …) d^d x, bei denen Ableitungen D^α φ(x) bis zur Ordnung |α| ≤ N vorkommen können, lautet die verallgemeinerte Gleichung:

Σ_{|α|≤N} (-1)^{|α|} D^α δL/δ(D^α φ(x)) = 0.

Dabei steht D^α für den Differentialoperator in Multiindex-Notation; über α=0 wird ebenfalls summiert. Weitere Verallgemeinerungen betreffen mehrere Funktionen, mehrere Dimensionen und Mannigfaltigkeiten. In diesem Zusammenhang kann ein Euler-Operator eingeführt werden, wobei verschiedene Ansätze für diesen Operator existieren.

Historische Einordnung

Die Variationsrechnung wurde um die Mitte des 18. Jahrhunderts vor allem durch Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange zu einem eigenen Fachgebiet entwickelt. Sie ist bis heute Gegenstand von Lehre, Weiterentwicklung und Forschung, besonders wegen ihrer Anwendungen in theoretischer und mathematischer Physik.

Die Frage, wie die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden können, ist das 23. Problem auf Hilberts Liste. Forschungsarbeiten von Ennio De Giorgi und Charles Morrey trugen zur Lösung des 19. Hilbert-Problems bei, das fragt: „Sind alle Lösungen von regulären Variationsproblemen analytisch?“ Die von Emmy Noether entwickelten Theoreme, die mit der Variationsrechnung zusammenhängen, sind heute in der modernen Physik wichtig, besonders im Zusammenhang mit Symmetrie. Karen Uhlenbeck, die sich intensiv mit Variationsrechnung befasst hat, erhielt 2019 den Abelpreis.