Brownsche Bewegung

Grundidee und Bedeutung

Die brownsche Bewegung ist die unregelmäßige, ruckartige Wärmebewegung kleiner Teilchen in Flüssigkeiten und Gasen. Robert Brown entdeckte sie 1827 unter dem Mikroskop. Sichtbar sind dabei nicht Moleküle im heutigen Sinn, sondern größere, mikroskopisch kleine Teilchen. Ihre Bewegung entsteht, weil die Moleküle der umgebenden Materie fortwährend aus allen Richtungen gegen sie stoßen. Da die Stöße zufällig nicht immer gleich stark verteilt sind, wird das Teilchen jeweils in wechselnde Richtungen bewegt.

Albert Einstein (1905) und Marian Smoluchowski (1906) erklärten und berechneten diesen Zusammenhang quantitativ. Jean Baptiste Perrin bestätigte ihn später durch Messungen. Damit wurde die brownsche Bewegung zu einem wichtigen Nachweis dafür, dass Moleküle und Atome existieren: Ihre unsichtbare Wärmebewegung zeigt sich indirekt in der beobachtbaren Bewegung größerer Teilchen.

Beobachtungen und historische Einordnung

Brown beobachtete 1827 Pollen von Clarkia pulchella in einem Wassertropfen. Zwischen den etwa 100 Mikrometern großen Pollenkörnern befanden sich etwa 6–8 Mikrometer große Partikel, die sich ruckartig und unregelmäßig bewegten. Heute weiß man, dass es Organellen wie Amyloplasten und Spherosomen waren. Brown vermutete zunächst eine Lebenskraft in den Pollen, beobachtete dieselbe Bewegung aber auch bei sicher unbelebten, ausreichend kleinen Staubkörnern in Wasser.

Jan Ingenhousz hatte 1784 eine ähnliche Bewegung von Rußteilchen in Alkohol beschrieben und Verdunstung als Ursache angenommen. Seine Teilchen waren jedoch zu groß für eine Untersuchung der brownschen Bewegung; außerdem war ihre Bewegung von Konvektion durch Verdunstung überlagert. Auch Vibrationen, etwa durch den Atem der beobachtenden Person, konnten Messungen stören. Christian Wiener zeigte 1863 durch detaillierte Experimente zunehmend, dass die Erscheinung allgemein ist und auf der Bewegung unsichtbar kleiner Flüssigkeitsteilchen beruht. Sie lieferte damit einen frühen beobachtbaren Hinweis auf die allgemeine Wärmebewegung aller Teilchen.

Physikalisches Modell und Messgesetz

Für ein Teilchen in einem viskosen Medium zeigten Einstein, Smoluchowski und Paul Langevin, dass sein mittlerer quadratischer Abstand vom Ausgangspunkt proportional zur Zeit wächst. In einer Dimension gilt:

\langle x^{2}\rangle ={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{3R_{0}\pi \eta }}\,t.

Dabei ist \langle x^{2}\rangle die mittlere quadratische Wegstrecke, k_{\mathrm {B} } die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur, R_{0} der hydrodynamische Radius des Teilchens und \eta die Viskosität von Flüssigkeit oder Gas. Die Bewegung wird also bei höherer Temperatur stärker, bei größeren Teilchen oder höherer Viskosität schwächer. Besonders wichtig ist, dass die Formel die Boltzmann-Konstante mit makroskopisch messbaren Größen verbindet. So können k_{\mathrm {B} }, die Avogadro-Konstante sowie Größe und Masse unsichtbarer Moleküle experimentell bestimmt werden.

Langevin beschreibt die Bewegung in x-Richtung durch m\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{x}-f\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}. m ist die Masse, F_x die zufällige Kraft der Molekülstöße und -f\,\mathrm{d}x/\mathrm{d}t die Reibungskraft. Mittelt man über viele Teilchen oder viele Wiederholungen, verschwindet der Term x\cdot F_x, weil die Stöße im Mittel keine Richtung bevorzugen. Die Varianz V(t), also die mittlere quadratische Entfernung, wächst nach Erreichen eines stationären Zustands proportional zur Zeit. Mit dem Stokes-Gesetz f=6\pi r\eta ergibt sich die obige Formel.

Auch Diffusion, Osmose und Thermophorese beruhen auf der Wärmebewegung der Moleküle. Brownsche Bewegung wird außerdem bei der Simulation von Aktienkursverläufen und als Grundlage zur Erforschung von Warteschlangen verwendet.

Mathematisches Modell und Verallgemeinerung

Mathematisch ist eine brownsche Bewegung B=(B_t)_{t\geq 0} auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal{F},P) ein zeitstetiger stochastischer Prozess. Er erfüllt drei zentrale Bedingungen:

• B_0=0 gilt P-fast sicher.
• Für 0\leq t_0<t_1<\dotsb<t_m sind die Zuwächse B_{t_i}-B_{t_{i-1}} unabhängig und normalverteilt: B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\sim\mathcal{N}(0,t_i-t_{i-1}). Ein Zuwachs hat damit den Erwartungswert 0 und eine Varianz, die der vergangenen Zeit entspricht.
• Die einzelnen Pfade sind P-fast sicher stetig.

Norbert Wiener bewies 1923 die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz dieses Prozesses; deshalb heißt er auch Wiener-Prozess. Es gibt mehrere mathematische Konstruktionen, etwa über endlich-dimensionale Randverteilungen und den Erweiterungssatz von Kolmogorov oder über zufällige Linearkombinationen. Sind Z_0,Z_1,\dots unabhängig und standardnormalverteilt, ist beispielsweise

B(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}Z_kf_k(t)=Z_0t+\sum\limits_{k=1}^{\infty}Z_k{\frac{\sqrt{2}\sin(k\pi t)}{k\pi}}

eine brownsche Bewegung. Eine multiparametrische Verallgemeinerung ist das brownsche Blatt.