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Variation ohne und mit Wiederholung - Kombinatorik
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 85 Zeilen
- in diesem Tutorial werden wir uns anschauen welche Bedeutung Variationen ohne und mit Wiederholung haben wie man die Formel nachvollziehen kann und
- natürlich wie man sich anwendet für den Anfang eine kleine Übersicht über die wichtigsten kombinatorische Mittel es gibt Permutationen ohne und mit
- Wiederholung dann Kombination ohne mitwiederholung und natürlich Variationen ohne um mit Wiederholung hier werden wir uns hauptsächlich nur
- mit dem Variationen beschäftigen allerdings ist es empfehlenswert auch die anderen zwei zu kennen und vor allem wäre es nicht schlecht in der richtigen
- Reihenfolge das zu tun also das heißt zuerst die Permutationen Kombinationen und dann die Variation anzuschauen weil alles aufeinander ein bisschen aufbaut
- wenn ihr Bedarf zu den anderen zwei Themen sieht am Ende dieses Videos im Abspann findet ihr auch dafür passende Tutorials bevor wir richtig loslegen
- schauen wir uns eine sehr wichtige Eigenschaft der Variationen eine Eigenschaft die sie von den anderen Mittel unterscheidet und vor allem von
- den Kombinationen weil damit gibt es sozusagen die größte Verwechslung gefahren und dafür nehmen wir ein kleines Beispiel
- diejenigen von euch die die anderen zwei Tutorial schon angeschaut haben kennen das wahrscheinlich ich habe das natürlich jetzt passen umgeändert damit
- es für die Variationen passt ich überfliege kurz die Aufgabenstellung in einem Badewanne befinden sich drei verschiedenen farbige Gummienten eine
- rote eine grüne und eine blaue wir ziehen nacheinander zwei Enden ohne Zurücklegen und das könnte wie folgt aussehen also das sind unsere drei
- Gummienten wir können als erstes eine rote Ente ziehen oder eine blaue und alternativ könnten wir am Anfang eine blaue und
- dann eine rote ziehen Voraussicht hinaus möchte diese zwei Ziehungen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge und darum geht es bei dieser
- Variation also die beiden Anordnungen unterscheiden sich nur in der reihenfolge-elemente und werden daher als verschiedene Variationen betrachtet
- wieso ist das wichtig zum Beispiel bei Kombinationen spielt die Reihenfolge gar keine Rolle also da unterscheiden wir nicht zwischen den linken und den
- rechten Ziehung hier schon und das macht Variationen aus also merkt euch bitte an dieser Stelle die Reihenfolge der Elemente bei Variationen wird
- berücksichtigt oder spielt eine wichtige Rolle und deshalb werden sie manche Bücher auch als geordnete Stichproben bezeichnet und jetzt wollen wir
- natürlich den Unterschied verstehen zwischen Variationen ohne um mit Wiederholung wie ihr seht fangen wir an mit Variation ohne Wiederholung also die
- Aufgabenstellung sollte euch vom vorher bekannt vorkommen ich habe nur eine Sache hier in dieser Aufgaben ein bisschen besser verdeutlicht und zwar am
- Ende steht wie Zier nacheinander zwei Enden ohne Zurücklegen dieser Formulierung dieser Formulierung hier an dieser Stelle bedeutet eigentlich dass
- die Ziehung ohne Wiederholung ist also eine Ziehung ohne Zurücklegen die sind Zusammenhang bedeutet eine Ziehung ohne Wiederholung und diesmal haben wir sogar
- eine konkrete Fragestellung und zwar auf wie viel verschiedene Arten lassen sich zwei Enden aus der Badewanne ziehen ohne Zurücklegen also ohne Wiederholung und
- mit Berücksichtigung der Reihenfolge und das diese letzte Formulierung ist der Hinweis dass sie sich hier um die Anzahl der Variationen handelt um diese Frage
- zu beantworten versuchen wir jetzt das ganze nicht rechnerisch zu betrachten sondern bildlich das heißt wir versuchen uns alle Möglichkeiten anhand dieser
- Enden vorzustellen und wir fangen natürlich mit den zwei Fällen die wir schon also von links nach rechts kann man auch die reihenfolgedeziehung
- betrachten das wird in diesem Fall wurde zuerst die rote und dann die blaue Ente gezogen die zweite Fall natürlich zuerst wurde die blaue und dann die rote
- gezogen dann wechseln wir die Farben hier wurde zuerst die rote und an die grüne gezogen dann wieder zuerst die grüne und dann die rote und die letzten
- zwei Möglichkeiten grün und blau bzw blau und grün also schlussfolgend könnten wir sagen es gibt sechs mögliche Variationen
- jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen wie man auf eine passende Formel dazu kommt naja ich habe bereits schon vorgewarnt die Variationen hängen ein
- bisschen von den Kombinationen ab und deshalb fängt alles an auch mit der Formel für die Anzahl der Kombination ohne Wiederholung die sollte euch auf
- jeden Fall noch mal bekannt vorkommen das war diese drei über zwei in diesem Fall Geschichte also mit dieser Formel würden wir jetzt die Anzahl der
- Möglichkeiten ausrechnen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge dann werden es ja Kombinationen was ändert sich denn eigentlich an
- dieser Formel naja die zwei Enden dividieren können wir auf zwei verschiedene Arten und Weisen permutieren zum Beispiel wenn wir uns
- jetzt auf die Farben Rot und Blau beziehen bedeutet das ich kann ihn wieder die rote zuerst und dann die blaue oder die blaue und dann die rote
- und das gibt für alle Farben Kombinationen deshalb müssen wir praktisch dieser Formel noch mal mit der Gesamtanzahl dieser Möglichkeiten nehmen
- und zwar mal zwei Fakultät in diesem Fall weil wir ziehen nur zwei Enden und ihr merkt jetzt was passiert an dieser Stelle man kann die zwei Fakultät in
- Zähler und im Nenner kürzen und entsprechend haben wir dann die Anzahl der Variationen also wo die Reihenfolge berücksichtigt wird und das wäre dann
- einfach drei Fakultät in diesem Fall durch 3 - 2 Fakultät wenn wir das jetzt auf die allgemeine Formel der Kombinationen
- beziehen das war die hier das bedeutet das ganze wird noch mal mit K Fakultät multipliziert und kafakultät und kaf Fakultät kürzen sich wieder weg und
- damit haben wir die Formel für die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung zugegeben diese Formel ist nicht so einfach nachzuvollziehen wenn man nicht
- voll und ganz in diesem Thema ist hier muss die Eigenschaften von Kombinationen kennen also Kombination ohne Wiederholung und natürlich auch wissen
- was eine Permutation bedeutet aber ich denke mir wenn diese zwei Sachen klar sind dann ist auch nachvollziehbar an dieser Stelle wie
- diese Formel entsteht und jetzt sind wir bei dem Variationen mit Wiederholungen die Aufgabenstellung ist komplett gleich geblieben bis auf ein wichtiger Detail
- wir ziehen nacheinander zwei Enton jetzt mit Zurücklegen das bedeutet natürlich auch übersetzt mit Wiederholung die Fragestellung ändert sich dann auch nur
- geringfügig auf wie viele verschiedene Arten lassen sich zwei Enten aus der Badesee Badewanne ziehen mit zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge
- und wir versuchen uns das Ganze für den Anfang wieder bildlich vorzustellen das heißt wir haben einmal alle Möglichkeiten die wir schon hatten oder
- alle Variationen die wir ursprünglich hatten und zusätzlich wenn wir jetzt die gezogene Ende zurücklegende Badewanne entstehen noch drei weitere
- Möglichkeiten wo wir dann jeweils die gleiche Farbe ziehen also wir können dann auch noch zwei rote ziehen zwei grüne oder zwei blaue also schlussfolgen
- können wir sagen dass wir in diesem Fall 9 mögliche Variationen haben die passende Formel ist in diesem Fall deutlich einfacher nachzuvollziehen also
- ihr müsst euch so vorstellen wenn ihr die erste Ente aus der Badewanne zieht dann habt ihr drei Möglichkeiten dafür ihr könnt entweder die rote die blaue
- oder die grüne Ente ziehen dann legt ihr diese Ente zurück in die Badewanne das bedeutet für die zweite Ente die wir ziehen wollen haben wir immer noch drei
- Möglichkeit also insgesamt haben wir drei mal drei Möglichkeiten das kann man auch als 3 hoch 2 ziehen wobei drei wäre jetzt in
- diesem Fall die Anzahl der endende Badewanne und zwei wäre die Anzahl der enden die insgesamt gezogen werden das sind natürlich 9 Möglichkeiten naja
- dadurch könnte man die Formel aus sehr einfach Fall gemeinen die würde dann so aussehen also die Anzahl der Variationen mit Wiederholung ist einfach ein Hochkar
- und damit nichts Wichtiges aus den Erinnerungen bei diesem Thema verschwindet wollen wir an dieser Stelle alles was wir bis jetzt angeschaut haben
- allgemeiner zusammenfassen also es geht um die Variation ohne um mit Wiederholung allgemein hat kann man das ganze auch so formulieren aus n
- verschiedenen Elementen werden k-elemente entnommen wobei die Reihenfolge der Ziehung von Bedeutung ist
- die gezogenen Kugel bilden dann eine sogenannte Variation erste Möglichkeit wenn die Ziehung der Keilelemente ohne Zurücklegen erfolgt
- also ohne Wiederholung ist das die passende Formel und wenn die Ziehung der keilemente mit Zurücklegen erfolgt also mit Wiederholung ist dieser hier unten
- die passende Formel um zum Schluss noch zwei sehr kurze Aufgaben die das ganze verdeutlichen sollen ich habe eine Bitte an dieser Stelle drückt auf Pause und
- ist immer Ruhe die Aufgabenstellung ich werde sie jetzt nur überfliegen also bei der ersten Beispielaufgabe beim Pferderennen muss in der 3er Wette der
- Zieleinlauf der ersten drei Pferde in der richtigen Reihenfolge vorausgesagt werden wie viele verschiedene Dreier Wetten sind möglich wenn acht Pferde
- starten also nächste Reihe solltet ihr erkennen dass die Reihenfolge eine Rolle spielt also das schon klar dass sie sich hier
- bei dieser Fragestellung um Variationen handelt dann müsst ihr nur noch feststellen ob es eine Variation mit oder ohne Wiederholung ist und da die
- Fährte oder die der gleiche fährt nicht öfters über die Ziellinie laufen kann ist es natürlich eine Variation ohne Wiederholung und das heißt wir nehmen
- dann entsprechend dieser Formel dafür wobei n die Gesamtanzahl der Pferde ist also entweder in diesem Fall 8 und K natürlich die drei Pferde die über
- Ziellinie laufen also K ist 3 das heißt wenn wir jetzt die Anzahl der Variationen ausrechnen wollten dann müssen wir einfach nur acht Fakultät
- durch in Klammer 8-3 Fakultät ausrechnen 8 - 3 ist natürlich 5 also ausführlich geschrieben
- werde das dann acht mal sieben mal sechs Mal fünf mal vier Mal drei mal zwei mal eins ja das ist ein bisschen Gemüse mehr Geschichte so
- wie es aussieht hier und unten Nenner fünf mal vier Mal drei mal zwei mal eins zum Glück können wir einiges hier weg streichen also wir könnten hier unten
- alles von 5 bis 1 Weg streichen weil der gleiche dem taucht auch oben auf und das einzige was wir oben noch haben ist 8 x 7 x 6 also insgesamt hätte mir dann hier
- 336 Möglichkeiten bei der zweiten Beispielaufgabe überfliege ich dann auch kurz die Aufgabenstellung zwei Würfel werden
- gleichzeitig geworfen wie interessieren uns für die auftretenden Augenpaare wie viel verschiedene Augenpaare sind möglich
- in erster Reihe sollte euch das Wort Augenpaare auffallen der entscheidet ob sich ob hier eine Reihenfolge bzw keine Reihenfolge von Bedeutung ist bei dem
- Augenpaar kann zum Beispiel auch eine zwei mit drei auftreten aber auch eine 3002 das sind verschiedene Augenpaare deshalb spielt die Reihenfolge auf jeden
- Fall eine Rolle also Variation jetzt müsst ihr nur noch entscheiden ob es mit oder ohne Wiederholung ist naja die Zahlen dieser Augenpaare können auch
- mehrmals auftreten das heißt ich kann noch zweimal die zwei oder zweimal die drei auftreten deshalb ist es praktisch mit Wiederholung und aus diesem Grund
- brauchen wir natürlich diese Formel also in diesem Fall wäre gleich 6 jeder Würfel hat sechs Seiten sozusagen und bindet sie uns führen
- augenbad also wir brauchen nur zwei sozusagen Augenzahlen dafür für ein augenbad deshalb ist n = 6 und K = 2 also die
- Anzahl der Variationen mit Würde Erholung ist dann 6 hoch 2 also noch K und das sind dann natürlich 36 Möglichkeiten zum Schluss noch ein paar
- Hinweise wie bereits am Anfang erwähnt ist es natürlich auch wichtig dass ihr die Permutationen und Kombination dabei versteht sowie wird es nicht verkehrt
- wenn ihr eine Zusammenfassung anschaut wo alle diese drei kombinatorische Mittel schön zusammen dargestellt sieht so dass man praktisch die
- Gemeinsamkeiten und die Unterschiede erkennen kann und sie nicht durcheinander bringt wenn Bedarf Tutorials zu alle diese
- Themen findet ihr gleich im Abspann und wenn euch dieses Video gefallen hat ein Like eine das Kommentar oder sogar ein Abo kostenlos und wenn es euch nicht
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