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Kombinatorik - Variation/Kombination - einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 50 Zeilen
- Heute geht´s um Kombinatorik. Zuerst gehen wir auf die Produktregel ein und warum sie grundlegend für die Kombinatorik ist. Wir besprechen die Konzepte Permutation,
- Kombination und Variation und wir klären auch was mit und ohne Reihenfolge bzw. Ziehen mit Zurücklegen bedeutet. Wir sehen uns ganz genau an,
- wann man welche Formel verwendet und abschließend sehen wir uns die korrekte Anwendung dieser Formeln anhand mehrerer Beispiele an. Dieses Video liefert euch eine umfassende Übersicht
- zu allen wichtigen Themen der Kombinatorik, also unbedingt bis zum Ende dran bleiben. Kombinatorik wird häufig als die Kunst des Zählens bezeichnet und beschäftigt sich mit
- der Anzahl der Möglichkeiten, wie man Elemente aus einer gegebenen Grundmenge auswählen oder anordnen kann. Sie ist eine wichtige Grundlage für viele Bereiche der Mathematik, Informatik und Statistik.
- Bevor wir näher in das Thema eingehen, besprechen wir kurz die Produktregel. Sie ist ein grundlegendes Konzept der Kombinatorik und wird auch als allgemeines Zählprinzip bezeichnet.
- Die Formel dafür lautet n1 * n2 * … * nk Im Wesentlichen besagt die Produktregel, dass die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen von zwei oder mehr unabhängigen Ereignissen gleich
- dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten für jedes Ereignis einzeln ist. Einfacher ausgedrückt heißt das: Wenn wir k Entscheidungen treffen und für jede Entscheidung n Möglichkeiten haben,
- müssen wir die Anzahl der Möglichkeiten jeder Entscheidung miteinander multiplizieren um die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen bestimmen zu können.
- Angenommen, du besuchst regelmäßig die Mensa und hast jeden Tag die Wahl zwischen 3 verschiedenen Vorspeisen, 6 verschiedenen Hauptgerichten, und 4 verschiedenen Desserts. Durch die Anwendung der
- Produktregel ergibt sich so eine Gesamtzahl von 3 * 6 * 4 = 72 möglichen Gerichten, die du wählen könntest. Die Produktregel hilft uns also bei der Bestimmung der Anzahl der
- Möglichkeiten bei Permutationen, Variationen und Kombinationen. Vermutlich wisst ihr schon, dass es bei Kombinatorik mehrere Formeln gibt und
- meistens ist die größte Schwierigkeit die Auswahl der korrekten Formel. Deshalb sehen wir uns direkt eine Übersicht an, wie ihr das am besten unterscheiden könnt. In erster Linie müsst
- ihr euch einmal überlegen, ob in eurer Aufgabe alle Elemente oder nur eine Teilmenge betrachtet werden soll. Wenn nämlich alle Elemente betrachtet werden sollen, ihr somit keine Auswahl trefft,
- dann handelt es sich um Permutation. Wenn ihr eine Auswahl trefft und somit nur eine Teilmenge betrachtet, dann haben wir Variation bzw. Kombination. Bei Variation und
- Kombination überlegt ihr euch als nächstes, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht. Wenn die Reihenfolge der Elemente wichtig ist, dann nennt man das Variation und wenn diese nicht
- relevant ist, nennt man es Kombination. Zum Schluss müsst ihr noch unterscheiden, ob es sich um Ziehen mit zurücklegen handelt. Ihr könnt auch stattdessen
- mit bzw. ohne Wiederholung sagen. Schlussendlich habt ihr dann folgende 6 Formeln zur Berechnung. Also kurz zusammengefasst – Eine Permutation ist eine Anordnung aller Elemente einer
- Grundmenge. Eine Variation ist eine Auswahl von Elementen, bei der die Reihenfolge berücksichtigt wird und eine Kombination ist eine Auswahl von Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
- In dieser Tabelle findet ihr die soeben besprochenen Formeln noch einmal übersichtlicher zusammengefasst. Wir sehen uns nun anhand eines kurzen Beispiels an, wie ihr die soeben erwähnten
- Begriffe noch besser unterscheiden könnt. Gehen wir davon aus wir haben 10 Kugeln in einer Urne mit den Zahlen von 1 bis 10. Will ich nun alle 10 Kugeln ziehen,
- dann treffe ich keine Auswahl. Wir wollen alle Elemente anordnen und es handelt sich somit um Permutation. Möchte ich jedoch lediglich 4 dieser 10 Kugeln ziehen, dann liegt eine Auswahl
- vor. Wir haben also eine Teilmenge und somit handelt es sich um Variation oder Kombination. Ist es bei meiner Teilmenge wichtig, ob zum Beispiel zuerst die 5 und dann die 1 gezogen wird,
- dann ist also die Reihenfolge von Bedeutung und es handelt sich um Variation. Geht es lediglich darum, welche Zahlen gezogen wurden, jedoch nicht in welcher Reihenfolge,
- dann handelt es sich um Kombination. Gebe ich eine gezogene Kugel nach der Ziehung wieder in die Urne zurück, dann habe ich immer dieselbe Anzahl an Elementen. Das
- wäre dann Ziehen mit zurücklegen. Werden gezogene Kugeln nicht mehr zurückgegeben, verändert sich die Anzahl der Elemente ständig und wir hätten eine Ziehung ohne zurücklegen.
- Zum Schluss sehen wir uns noch Beispiele für jede der Formeln an. In diesem Video werden wir uns auf Variation und Kombination fokussieren. Für die Permutation habe ich euch
- ein eigenes Video mit Beispielen erstellt. Zuerst wollen wir die Möglichkeiten für ein 5-stelliges Passwort bestimmen. Wir dürfen für unser Passwort aus 26 Buchstaben und den Zahlen
- von 0 bis 9 wählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es also für 5-stellige Passwörter? Wir wollen also ein Passwort mit 5 Zeichen bestimmen. Somit verwenden wir also nicht alle
- möglichen Zeichen, sondern nur eine Teilmenge. Bei einem Passwort macht es einen Unterschied, ob ich 1,2,3,4,5 oder 5,4,3,2,1 eingebe. Somit ist also die Reihenfolge wichtig. Außerdem darf ich bei
- einem Passwort denselben Buchstaben auch mehrmals verwenden, das heißt also Ziehen mit zurücklegen. Wir haben also eine Teilmenge, mit Reihenfolge und mit zurücklegen. Die Formel,
- die wir hier also nehmen müssen ist n hoch k. Klein n steht hier in unseren Formeln für unsere Grundmenge und k steht für die Auswahl die wir treffen. Wir haben 26 Buchstaben und mit 0 bis
- 9 haben wir 10 Zahlen. Das heißt insgesamt dürfen wir aus 36 Zeichen wählen, was unsere Grundmenge n darstellt. Wir wollen ein 5-stelliges Passwort, also ist k gleich 5. Das heißt wir rechnen also
- 36 hoch 5 was am Ende etwas mehr als 60 Millionen Möglichkeiten für 5-stellige Passwörter ergibt. Nun zum nächsten Beispiel. In Deutschland gibt es Lotto 6 aus 49. Wie viele
- verschiedene Kombinationen gibt es? Beim Lotto werden 6 Kugeln aus den 49 gezogen – somit treffen wir erneut eine Auswahl und wir haben eine Teilmenge. Es handelt sich
- also erneut nicht um Permutation. Beim Lotto geht es nur darum, die 6 Richtigen zu ziehen. Welche Kugel dabei zuerst gezogen wurde ist egal. Somit ist die Reihenfolge nicht von Bedeutung. Zudem
- können beim Lotto gezogene Nummern nicht noch einmal gezogen werden. Somit also eine Ziehung ohne Zurücklegen. Die richtige Formel für diesen Fall ist also n über k und diese Formel ist auch
- besser als Binomialkoeffizient bekannt. Wir haben 49 Kugeln zur Auswahl und wollen 6 Kugeln ziehen. Somit ist n über k, 49 über 6 und das ergibt etwas weniger als 14 Millionen mögliche Kombinationen.
- Ihr könnt das ganz einfach mit dem Taschenrechner mit der Taste nCr berechnen. Bei den meisten Taschenrechnern müsst ihr dafür einfach 49 nCr 6 eingeben.
- Als nächstes sehen wir uns das Finale eines 100m Sprints an. Dort nehmen normalerweise 8 Personen Teil und die ersten 3 erhalten Medaillen.
- Wie viele verschiedene Podeste könnte es geben? Nur 3 der 8 werden prämiert, somit haben wir erneut eine Auswahl vorliegen. Es ist natürlich wichtig wer wo am Podest steht,
- also wer den 1., 2. und 3. Platz belegt. Es ist also mit Reihenfolge. Eine Person kann natürlich nicht gleichzeitig den 1. und den 2. Platz belegen, deswegen Ziehen ohne zurücklegen.
- Unsere Formel ist somit n Faktorielle durch (n-k) Faktorielle. n! (Rufzeichen) heißt n Fakultät oder n Faktorielle und es werden alle natürlichen Zahlen von n bis 1 miteinander multipliziert.
- Setzen wir ein haben wir 8 Faktorielle durch 8 minus 3 Faktorielle. Das ergibt dann 8 Fakultät durch 5 Fakultät und das wiederum wäre einfach 8 mal 7 mal 6. Als Lösung erhalten
- wir dann 336 verschiedene Möglichkeiten, wie sich das Podest zusammensetzen kann. Als kleine Info noch, mit der Formel n mal (n-1) mal … (n-k+1) wärt ihr ebenfalls auf 8 mal 7 mal 6 gekommen.
- Als letztes Beispiel werden im Büro der Statistikquelle Weihnachtskekse gebacken. Es stehen 6 verschiedene Zutaten zur Verfügung, wovon immer 3 Zutaten verwendet werden sollen,
- um die Keksrezepte zu variieren. Welche Zutat zuerst verwendet wird spielt keine Rolle. Wie viele verschiedene Auswahlmöglichkeiten gibt es, wenn bereits verwendete Zutaten
- wieder verwendet werden dürfen? Wir verwenden nur 3 Zutaten, treffen also wieder eine Auswahl. Es ist egal, welche Zutat wir zuerst verwenden,
- also ohne Reihenfolge und wir dürfen auch eine Zutat mehrmals verwenden, also mit zurücklegen. Die Formel, die wir somit verwenden ist n+k-1 über k. Wir haben insgesamt 6 mögliche Zutaten,
- von denen wir 3 wählen. Somit haben wir 6 + 3 – 1 über 3. Das ergibt 8 über 3 und das wiederum 56 mögliche Kombinationen für unsere Weihnachtskekse.
Zum Nachlesen
Kombination (Kombinatorik)Können Objekte dabei mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Kombination mit Wiederholung. Darf dagegen jedes Objekt nur einmal auftreten, spricht …
Variation (Kombinatorik)Eine Variation (von lateinisch variatio ‚Veränderung') ist in der Kombinatorik eine Auswahl von Objekten aus einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge.
Abzählende KombinatorikDie abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.
BinomialkoeffizientDer Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt, nämlich auf wie viele …