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Urnenmodelle - Zurücklegen und Reihenfolge - Kombinationen und Variationen - Gymnasium Wissen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 90 Zeilen
- kommen wir zu einem meiner Lieblingsthemen in der Stochastik nämlich den Uhrenmodellen man sagt auch Kombinatorik denn bei der Kombinatorik
- geht's darum ob man mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen zieht und ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder ob die Reihenfolge irrelevant ist und aus
- diesen zwei Eigenschaften jeweils gibt es jetzt hier diese vier Verknüpfungsmöglichkeiten also es gibt also die Möglichkeit dass man ja jetzt
- muss man sich wieder vorstellen ja ziehen aus was ziehe ich denn also es kann jetzt hier wieder so eine Urne sein und in dieser Urne liegen formor was
- hatten wir hier für ein Beispiel N = 5 und K = 3 na also n sind die Anzahl der Elemente in dieser Urne das wären jetzt hier 5 1 2 3 4 5 die könnten jetzt
- unterschiedliche Farbe haben oder haben jetzt hier mein wegen Zahlen drauf 1 2 3 nur so dass uns das jetzt mal vorstellen können 4 und 5 und aus dieser Urne mit
- fünf Elementen soll jetzt dreimal gezogen werden das heißt n Anzahl Elemente K sind die Anzahl der Ziehungen und je nachdem wie du jetzt ziehst also
- ob du jetzt ziehst und das Element nach der Ziehung wieder zurücklegst und es für die nächste Ziehung auch wieder bereit steht oder ob du das Element nach
- der Ziehung nicht wieder zurücklegst hat ja darauf Einfluss wie viele mögliche Variationen bzw Kombinationen es gibt die die Unterscheidung zwischen den
- Begriffen erkläre ich dir gleich noch mal so das ist die eine Sache also mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen und dann gibt's eben noch die Unterscheidung
- zwischen mit Reihenfolge oder ohne Reihenfolge es ist ja klar dass es mehr Variation bzw Kombination gibt wenn du sagst 1 2 ist etwas anderes als 2 1 oder
- wenn du sagst 1 2 ist das gleiche wie 21 wenn du sagst 1 2 ist das gleiche wie 21 dann sagst du das ist eine kom eine Kombination aus dem Elementen 1 und
- 2 so wenn du aber sagst 1 und 2 ist also 1 2 ist das ist was anderes als 21 dann sprechen wir über eine Variation weil man dann eben diese beiden Elemente
- variiert und zwar auf andere Stellplätze stellt so das ist schon mal die grobe der der grobe Unterschied also noch mal nehmen wir mal die Kombination ich ziehe
- zuerst eine Z und danach zieh ich eine 4 dann ist jetzt bei einer Kombination egal ob es 24 ist oder 4 Z man hat also die beiden Elemente 2 4 einfach
- miteinander kombiniert Reihenfolge spielt keine Rolle und deswegen siehst du hier auch ohne Reihenfolge da steht das Wort Kombination ohne Reihenfolge
- Kombination und bei mit Reihenfolge steht Variation bei beiden Verknüpfungen hier weil es ist eben wenn man sagt 24 ist nicht das
- gleiche wie 42 dann variiert man ja die Elemente auf verschiedene Stellplätze also entweder die zwei steht vorne od die zwei steht hinten und man betrachtet
- das dann als jeweils eine Variation so und jetzt gibt diese vier Verknüpfung und die gucken wir uns anhand eines Beispiels mal an wir haben Variation BZ
- Kombination gerade erklärt in einem urnenmodell und wir wollen uns diese vier uhrenmelle Mal mit dem Beispiel angucken es gibt
- fünf Elemente und ich ziehe zweimal daraus notiere die möglichen Ergebnisse sowie entsprechende taschenrechnerfunktion zur schnellen
- Berechnung das Ausrufezeichen heißt in der Mathematik Fakultät sowie der binomialkoeffizient N über K spricht man da ist=le n Fakultät geeil durch K mal
- in Klammern n- K Fakultät das sollte dir jetzt eigentlich noch aus der zehnten Klasse bekannt sein wenn nicht bitte einprägen das Fakultät bedeutet dass die
- Zahl die davor steht vor diesem Ausrufezeichen al sagen wir mal zwe Fakultät ist 2 x 1 5 Fakultät ist 5 x 4 x 3 x 2 x 1 das heißt diese Zahl die vor
- dem Ausrufezeichen steht packt man nach vorne und dann zieht man immer eine Einheit ab und multipliziert alles auf bis man bei der
- also vier Fakultät z.B ist 4 x 3 x 2 x 1 und diese Binomialkoeffizienten na ja da musst du hier einfach nur einsetzen n über K die Formel muss man sich merken
- einsetzen und ausrechnen es gibt dafür aber auch noch ein Taschenrechner ein Taschenrechner Befehl und den zeige ich dir aber nachher hier
- vielleicht noch mal ganz kurz zu du siehst hier schon die Rechnungen sind sehr unterschiedlich schwierig also n hoch K ist relativ einfach n über K
- sieht auch noch einfach aus aber die anderen beiden die kann man sich nur schwer merken und da habe ich auch leider für dich keine irgendwie
- Eselsbrücken oder Merksätze oder was auch immer ich merke mir das immer so die einfachen sind mit mit und ohne ohne mit Zurücklegen mit Reihenfolge ist n
- hoch K ohne ohne also ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge ist n über K somit habe ich mir die beiden schon mal gemerkt und die anderen beiden ja guckt man dann
- entweder in der Formelsammlung nach oder merkt sich die lernt das auswendig wie eine Vokabel gut dann fangen wir mal an mit dem ersten renmodell das erste en
- ist ja das was ich eben gerade angesprochen habe mit mit also n hoch K das ist noch eine relativ einfache Formel n hoch K in diesem Fall n F
- Elemente zweimal wird gezogen K = 2 also 5 hooch 2 sind 25 jetzt wollen wir uns auch diese ganzen Möglichkeiten mal angucken also
- wenn hier mit Zurücklegen gezogen wird und die Reihenfolge eine Rolle spielt dann haben wir ja Variation das heißt die Stellplätze sind entscheidend wir
- haben also die Möglichkeiten 1 12 2 1 3 1 4 15 warum 1 ja mit Zurücklegen die 1 wird gezogen geht wieder zurück in den Topf ist also für die zweite Ziehung
- auch wieder möglich so dann gibt es ja noch die Möglichkeiten ich ziehe zuerst eine zwe und dann eine ein eine 2 2 eine 2 eine 3 Z 4 2 eine 5 genauso ist das
- für 3 und für die vi am Anfang und für die F am Anfang das heißt alles ist immer möglich und das sind jeweils fünf Zeilen fünf Spalten also habe ich
- insgesamt 25 Ergebnisse hier und das hat mir auch meine Rechnung gebracht das nennt man Variation noch mal weil man eben hier die einzelnen Elemente
- variiert und das eine Rolle spielt also mit Reihenfolge dann kommen wir zu enmodell 2 das ist jetzt eins wo man nachgucken muss nach der Formel weil das
- nicht also das ist nicht mit mit oder ohne ohne sondern das ist om ohne mit wir ziehen also ohne Zurücklegen aber die Reihenfolge spielt eine Rolle wir
- haben also wieder Variation aber die Elemente gehen nach der Ziehung nicht direkt wieder zurück die Formel und die Rechnung siehst du hier schon mal das
- ist nämlich n Fakultät durch in Klammern n- K Fakultät die fün Fakultät ausgerechnet ist ja 5 x 4* 3 x 2 x 1 und hier unten im Nenner hat man 5 - 2= 3 3
- Fakultät ist 3 x 2 x 1 jetzt kann ich die 3 x 2 x 1 gegen diese 3 x 2 x 1 hier oben kürzen und somit bleibt noch 5 x 4 über das ist 20 du siehst die Rechnung
- ist nicht so schwer und wir können es jetzt auch die ganzen Variation mal angucken es ist so ähnlich wie hier oben nur eben dass diese ganzen
- Diagonalelemente hier nicht mög sind das heißt wir haben nur 12 2 1 3 14 15 2 1 2 3 alle diese fettgedruckten fallen also raus das heißt wir haben 25- die 5
- Diagonalen sind 20 passt so jetzt enmodell 3 bei renmodell 3 haben wir a nee noch kurz eine taschenrechnerinformation das sollte ja
- hier auch angegeben werden das hier nennt man NPR im Taschenrechner das heißt das ist nicht der vollständige binomialkoeffizient nämlich den siehst
- du hier oben rechts rechts ja noch der vollständige binomialkoeffizient wäre noch dieses K mal im Nenner das ist sozusagen so eine vereinfachte Version
- und das machst du mit NPR hast du im GTR im shiftbereich und auch in den mathematischen Operatoren musste du dich mal durchklicken also n als 5 hier
- eingegeben dann die Taste NPR oder den Operator auswählen und dann K = 2 somit also 5 NPR 2 kommt 20 raus so jetzt aber das unmodell 3 da haben wir mit
- zurücklegen ohne rein Folge das heißt jetzt spielt es keine Rolle mehr auf welche Stellplätze man die Elemente permutiert sondern man sagt es ist egal
- 2 und 4 ist das gleiche wie 4 und 2 es ist eine Kombination aus den beiden Elementen somit haben wir also jetzt hier Kombination aber mit Zurücklegen
- das heißt diese Diagonalelemente hier sind möglich die wir hier oben sehen schauen uns erstmal an was überhaupt jetzt geht also es geht ja 1 1 weil wir
- ja mit Zurücklegen ziehen 1 2 1 3 1 4 1 5 diese ersten fünf sind so ähnlich wie oder sind genauso gleich wie da oben so jetzt können wir aber sagen 1 und 2 ist
- ja das gleiche wie 2 und 1 das heißt dieses Element fehlt mir jetzt hier vorne in der Kette also 2 und 1 muss ich jetzt hier nicht noch mal anfügen weil
- es ja schon vorne mit 1 und 2 jetzt Kombination stehen habe 2 und 2 gibt's aber noch nicht 2 und 3 gibt's nicht 2 und 4 gibt's nicht 2 und 5 gibt's nicht
- okay dann müsste ihr eigentlich 3 und 1 kommen das steht aber schon hier vorne brauche ich also nicht dann würde ja 3 und 2 kommen brauche ich auch nicht
- steht ja hier vorne schon als Kombination dann kommt 3 und 3 ist korrekt das habe ich noch nicht 3 und 4 3 und 5 passt dann ging es ja weiter mit
- 4 und 1 habe ich hier vorne brauche ich nicht dann 4 und 2 habe ich hier brauche ich nicht dann 4 und 3 brauche ich auch nicht steht hier vorne 4 und 4 4 und 5
- und dann eben genau nach demselben Prinzip nur noch das 5 und 5 jetzt zähen wir mal durch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 wie berechnet man das da
- brauche ich auch wieder diese diesen Binomialkoeffizienten für aber auch das wieder in einer abgewandelten Form nämlich nicht nur einfach n über K
- sondern hier in dieser Sache die man sich einfach merken muss oder in der Formelsammlung guckt n + K also Anzahl der elemente+ Anzahl der Ziehung -1 über
- Anzahl der Elemente -1 5 + 2 - 1 einm einfache Rechnung 7 - 1 ist 6 und 5 - 1 ist 4 6 über 4 6 Fakultät ist 6* 5* 4* 3 x 2* 1 und unten im Nenner habe ich 6 -
- 4 ist 2 Fakultät und 4 Fakultät ist also 4 x 3 x 2 x 1 und dann noch 2 x 1 jetzt können wir da auch wieder ein bisschen was kürzen 4* 3* 2* 1 das kürze ich
- gegen das hier und damit habe ich nur noch 6 x 5 sind 30 2 sind 15 und das ist auch die passt über passt zusammen mit der Auflistung
- die ich hier oben gemacht habe ja ja ganz schön viel was man sich da merken muss aber eigentlich sind es nur die vier Formeln und ich kann dir dabei gar
- nicht so viel helfen als es dir hier einfach n mal einmal dem Beispiel zu zeigen den Rest musst du dir selber auswendig lernen das unmodell 4 schön
- weil da haben wir wieder dies oo genauso wie oben mm war ja das mm war ja n über K jetzt haben wir hier oo das ist nein Moment Entschuldigung mm oben ist n hoch
- K jetzt bin ich selber schon durcheinander gekommen und das oo ist n über K das heißt der binomialkoeffizient den kann man sich gut merken gucken wir
- erst mal auf das Modell an sich wir haben ohne Zurücklegen bedeutet also wir legen das Element nach der Ziehung nicht wieder rein steht für den für die zweite
- Ziehung nicht mehr zur Verfügung das heißt diese Diagonalen von oben 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 stehen nicht zur Verfügung und wir ziehen ohne Reihenfolge das
- heißt wir gucken uns Kombinationen an 4 und 2 ist das gleiche wie 2 und 4 spielt also keine Rolle hier was das für eine Reihenfolge ist also haben wir ein und
- ein fehlt dann ein und 2 1 und 3 ein und 4 1 und 5 2 und 1 brauchen wir nicht weil 2 und 1 ist das gleiche wie 1 und 2 2 und 2 gibt es nicht weil wir ohne
- Zurücklegen ziehen und dann geht's wieder weiter 2 und 3 2 und 4 2 und 5 dann 3 und 1 haben wir hier vorne 3 und 2 haben wir hier 3 und 3 gibt's nicht 3
- und 4 wäre das nächste 3 und 5 na ja und dann gibt's tatsächlich nur noch 4 und 5 weil es am Ende 5 und 5 nicht gibt und alle anderen hier vorne als Kombination
- schon vorkommen also sind wir fertig 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 Kombinationen hier und wie rechnet man sie aus wir sehen schon das Ergebnis stimmt also hier mit
- unseren Überlegung von oben üin und binomialkoeffizient ist einfach n Elemente 5 K2 5 Fakultät durch 2 Fakultät mal 5- 2 Fakultät ein bisschen
- was können wir kürzen 32 1 kürzen wir gegen das hier und dann bleibt noch stehen 20 im Zähler Z im Nenner sind 10 insgesamt J damit haben wir das ja alles
- einmal durchgerechnet taschenn auch benutzen das ist nicht das NPR von oben NPR ist ja hier oben das mit diesem wo das K mal im Nenner fehlt hier fehlt das
- K mal nicht das heißt wir haben einen binomialkoeffizient und den wählt man an mit der Tastenkombination NCR oder mit diesem Operator n n erst das n eingeben
- das die F dann das NCR auswählen im schiftbereich von deinem Taschenrechner findest du das oder bei den Operatoren und dann die Anzahl der Ziehung sind 2 5
- nc2 dann bekommst du mittim Taschenrechner Zeh her raus kannst du ja gerne gleich mal ausprobieren ja max was sagst du hier noch mit den Urmodellen
- bekommst du die Anzahl aller Ergebnisse eines zufallsexperiments heraus da es sich bei solchen Experimenten meist um Laplace Experimente handelt lassen sich
- Wahrscheinlichkeiten wie folgt berechnen wenn du also mit dieser Kombinatorik die Anzahl berechn so wie hier gerade en Modell 4 kann ich dir so einblenden ja
- müsstest Du sehen so ren Modell 4 wäre ja 10 Kombinationen dann würdest du diese Anzahl an Kombinationen in den Nenner packen
- Anzahl aller Ergebnisse steht hier aber das ist eben Ergebnisse wäre in urmell 4 die Anzahl der Kombination und im Zähler steht die Anzahl der Ergebnisse des
- Ereignisses e wenn es jetzt also heißt wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Kombination 2 3 zu haben also dieses Ding hier dann ist das ja nur ein
- Element von 10 also 1 im Verhältnis zu 10 ist ein Z also Wahrscheinlichkeit 10%.
- [Musik]
Zum Nachlesen
Kombination (Kombinatorik)Können Objekte dabei mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Kombination mit Wiederholung. Darf dagegen jedes Objekt nur einmal auftreten, spricht …
Abzählende KombinatorikDie abzählende Kombinatorik ist ein Teilbereich der Kombinatorik. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen.
Variation (Kombinatorik)Eine Variation (von lateinisch variatio ‚Veränderung') ist in der Kombinatorik eine Auswahl von Objekten aus einer Menge in einer bestimmten Reihenfolge.
UrnenmodellMit Urnenmodellen wird die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten bestimmter Farbkombinationen untersucht, wenn aus einer Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln …