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Mengenlehre
Dieser Artikel befasst sich mit der mathematischen Theorie der Mengen; eine erste Einführung in die Begriffe der Mengenlehre findet sich unter Menge (Mathematik) …
Inhalt5 Abschnitte
Grundidee und Bedeutung
Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Sie untersucht Mengen, also Zusammenfassungen von Objekten zu einem Ganzen. Die übliche Mathematik wird in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf ihren Axiomen auf: Objekte aus Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik und Topologie können als Mengen definiert werden.
In der reinen Mengenlehre ist „∈“ („ist Element von“) die einzige notwendige Grundrelation. Aus ihr und den logischen Operatoren der Prädikatenlogik lassen sich alle weiteren mengentheoretischen Begriffe und Aussagen aufbauen. Zentral ist dabei die Extensionalität: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten: A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B).
Notation und grundlegende Mengenoperationen
Bei der aufzählenden Notation werden die Elemente in geschweifte Klammern gesetzt. Es gilt: a ∈ {x₁, …, xₙ} ⇔ a = x₁ ∨ … ∨ a = xₙ. Beispielsweise ist a ∈ {1,2,3,4} gleichbedeutend mit a = 1 ∨ a = 2 ∨ a = 3 ∨ a = 4.
Die beschreibende Notation {x | P(x)} bezeichnet die Menge aller x, für die die Aussage P(x) gilt. Beschränkt auf eine Menge M schreibt man {x ∈ M | P(x)}. Die leere Menge enthält kein Element und wird ∅ oder {} geschrieben.
A ist Teilmenge von B, geschrieben A ⊆ B, wenn jedes Element von A auch zu B gehört: A ⊆ B ⇔ ∀x (x ∈ A → x ∈ B).
Die Schnittmenge A ∩ B enthält genau die Elemente, die in A und B liegen. Allgemein enthält ⋂ᵢ∈I Aᵢ die Elemente, die in jeder Menge Aᵢ liegen. Für eine leere Indexmenge ist ein Schnitt im Allgemeinen nicht definiert; wenn alle Mengen Teilmengen einer festen Grundmenge Ω sind, gilt ⋂ᵢ∈∅ Aᵢ = Ω.
Die Vereinigungsmenge A ∪ B enthält alle Elemente, die in A oder B liegen. Allgemein gilt ⋃ᵢ∈I Aᵢ = {x | ∃i ∈ I: x ∈ Aᵢ}. Anders als der Schnitt ist auch die Vereinigung einer leeren Menge von Mengen definiert.
Die Differenzmenge A \ B enthält die Elemente von A, die nicht in B liegen: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}. Das Komplement von B bezüglich einer Grundmenge X ist Bᶜ = X \ B. Daher gilt A \ B = A ∩ Bᶜ. Die symmetrische Differenz enthält Elemente, die in genau einer der beiden Mengen liegen: A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A).
Weitere Konstruktionen, Relationen und Mächtigkeit
Die Potenzmenge ℘(A) ist die Menge aller Teilmengen von A: ℘(A) = {X | X ⊆ A}. Sie enthält stets ∅ und A selbst. Deshalb ist ℘(∅) = {∅}; diese Potenzmenge hat genau ein Element.
Ein geordnetes Paar berücksichtigt die Reihenfolge seiner beiden Einträge. Es kann nach Kuratowski allein mit Mengen definiert werden als (a,b) := {{a},{a,b}}. Das kartesische Produkt A × B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a ∈ A und b ∈ B.
Eine Relation zwischen A und B ist eine Teilmenge R ⊂ A × B. Eine Funktion f: A → B ist eine solche Relation, die jedem a ∈ A mindestens einen und höchstens einen Wert b ∈ B zuordnet. Für (a,b) ∈ f schreibt man f(a) = b.
Zu einer Äquivalenzrelation ∼ auf M gehört die Äquivalenzklasse [a] = {x ∈ M | a ∼ x}. Die Quotientenmenge M/∼ ist die Menge aller Äquivalenzklassen. Wenn „geht in dieselbe Klasse“ die Äquivalenzrelation für Schülerinnen und Schüler ist, ist [a] die Schulklasse eines Schülers und M/∼ die Menge der Schulklassen.
Auch natürliche Zahlen lassen sich als Mengen festlegen: 0 := ∅, 1 := {0}, 2 := {0,1}, 3 := {0,1,2} und allgemein n+1 := n ∪ {n}. Die natürlichen Zahlen sind ℕ := {0,1,2,3,…}.
Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge A wird |A|, gelegentlich #A, genannt. Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine bijektive Funktion zwischen ihnen gibt, also eine Eins-zu-eins-Beziehung. Eine endliche Menge ist gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl; dann ist |A| ihre Elementanzahl. Die Kardinalzahl verallgemeinert diese Anzahl auf unendliche Mengen. Für die Potenzmenge gilt auch bei unendlichen Mengen die Kardinalität 2^|A|.
Unendliche Mengen und axiomatische Grundlage
Georg Cantor begründete die Mengenlehre in den Jahren 1874 bis 1897. Er verstand unter einer Menge eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. Dabei unterschied er konsistente Vielheiten, die widerspruchsfrei als Einheit gedacht werden können, von inkonsistenten Vielheiten, die keine Mengen sind.
Cantor ordnete insbesondere unendliche Mengen nach ihrer Mächtigkeit. Die natürlichen, rationalen und algebraischen Zahlen sind abzählbar, also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Die reellen Zahlen sind dagegen nicht abzählbar und haben eine größere Mächtigkeit. Außerdem hat die Potenzmenge jeder Menge M stets eine größere Mächtigkeit als M (Satz von Cantor); folglich gibt es überabzählbar viele Mächtigkeiten.
Das Kontinuumproblem fragt, ob es eine Mächtigkeit zwischen derjenigen der natürlichen und der reellen Zahlen gibt. Cantor konnte es nicht lösen; später zeigte sich, dass diese Frage grundsätzlich nicht entscheidbar ist.
Eine uneingeschränkte Mengenbildung führte zu Widersprüchen wie der Russellschen Antinomie. Daher wurden axiomatische Mengenlehren entwickelt. Die Typentheorie von Bertrand Russell sollte problematische Mengenbildungen verhindern, erwies sich für Cantors Mengenlehre aber als zu kompliziert und unzulänglich. Maßgeblich wurde die von Ernst Zermelo entwickelte axiomatische Mengenlehre. Abraham Fraenkel wies 1921 auf die Notwendigkeit des Ersetzungsaxioms hin; im Zermelo-Fraenkel-System von 1930 wurde es ergänzt.
ZF bezeichnet das Axiomensystem ohne Auswahlaxiom, ZFC das System mit Auswahlaxiom. ZFC gilt für die Mehrheit der Mathematiker als Grundlage der modernen Mathematik; aus ihm wurden keine Widersprüche abgeleitet. Seine vollständige Widerspruchsfreiheit kann jedoch nicht innerhalb der Mengenlehre selbst bewiesen werden, wie Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz von 1931 zeigt.
Wichtige Rechengesetze
Die Potenzmenge ℘(X) ist mit der Teilmengenrelation ⊆ partiell geordnet: A ⊆ A (Reflexivität); aus A ⊆ B und B ⊆ A folgt A = B (Antisymmetrie); aus A ⊆ B und B ⊆ C folgt A ⊆ C (Transitivität).
Schnitt und Vereinigung sind kommutativ und assoziativ: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Sie sind außerdem zueinander distributiv: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Für Komplemente gelten die De-Morganschen Gesetze: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ und (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ. Die Absorptionsgesetze lauten A ∪ (A ∩ B) = A und A ∩ (A ∪ B) = A.
Für Differenzen gelten unter anderem: (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C), (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C), (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C), A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C), A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
Die symmetrische Differenz ist assoziativ und kommutativ, A △ ∅ = A und A △ A = ∅.
