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Klausur UNI Mathe – Vollständige Induktion einfach erklärt, Summe
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 101 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute habe ich euch eine Aufgabe mitgebracht die ich in einer Klausur der Uni Hamburg gefunden habe es ging um die Vorlesung Mathematik
- für Wirtschaftswissenschaftler und wir sollen mit Hilfe der vollständigen Induktion zeigen dass für alle n aus den
- natürlichen Zahlen diese Gleichung hier gilt und das Schöne an der vollständigen Induktion ist dass man sich dann nicht irgendwie was ausdenken muss oder so
- sondern es gibt ein schönes Schema das man einfach abarbeiten kann wenn man die diese drei Punkte hier schön durchgeht und am Ende angekommen ist dann hat man
- das Ganze eben bewiesen wir starten mit dem Induktionsanfang der mit ia abgekürzt wird und beim Induktionsanfang ist es so dass man sich das erste n
- anschaut also die erste Zahl für die diese Aussage hier gelten soll D muss man halt eben schauen was da steht hier steht jetzt dass es für alle n aus den
- natürlichen Zahlen gelten soll also ab der ersten natürlichen Zahl und die ist 1 in den meisten Fällen oder ab und zu ist auch mal die Null mit dabei müsst
- ihr einfach schauen wie das bei euch festgelegt ist ab und zu geht's bei Null los ab und zu bei ein wir starten jetzt einfach mal bei ein falls in eurem
- Beispiel sowas stehen würde für alle n größer gleich 5 dann startet das n natürlich erst bei 5 also ihr schaut einfach für welches erste n soll meine
- Aussage gelten und das benutzt ihr dann hier ja und jetzt wird es einfach eingesetzt also wir setzen jetzt einfach n für n setzen wir eins ein und schauen
- ob die Aussage gilt sie sollte halt gelten weil wir wollen ja zeigen dass Sie für jedes n gilt dann sollte sie auch für unser erstes n gelten also
- schauen wir mal wo die NS vorkommen einmal hier einmal hier und einmal hier die KS haben damit gar nichts zu tun also falls da noch irgendwie andere
- Buchstaben vorkommen sollten das sind nicht eure NS also ihr schaut euch nur eure NS an und ersetzt die jetzt mal durch 1 das heißt diese Summe die auf
- der linken Seite steht die läuft von K = 1 bis statt dem N setzen wir eine 1 ein das was in der Summe steht schreiben wir dann natürlich ab da ändern wir gar
- nichts dran und auf der rechten Seite auch da sobald wir auf ein N stoßen so wie hier setzen wir da eins ein alles andere wird einfach nur abgeschrieben
- auch da unten die zwei abgeschrieben aber für das n wird ein eingesetzt und jetzt schauen wir mal ob diese Gleichung hier stimmt auf der linken Seite haben
- wir eine Summe die startet bei K = 1 also hier inen drin müssen wir jetzt für K1 einsetzen wird das K 1 eingesetzt dann ist es 1 durch 2 hoch 1 und dann
- schauen wir ob es noch weitere summanten von unserer Summe hier gibt also gucken bis wohin die Summe laufen soll die soll aber nur bis ein gehen also wir haben
- bei 1 gestartet und sie soll bei ein Enden also gibt's kein weiteres K was wir hier irgendwie einsetzen müssen die Summe läuft nur über einen summanten und
- damit kommt dann nichts mehr hinzu auf der linken Seite auf der rechten Seite können wir mal hier das Zusammenrechnen 1 + 2 wären 3 halbe also links hätten
- wir damit ein/b stehen und rechts 2- 3/ 3/ steht ja für 1,5 auch also 2- 1,5 wären 0,5 oder eben auch ein/b und damit haben wir hier schön gezeigt dass diese
- Gleichung für n gleich 1 also für unseren Anker sozusagen das erste n für dass wir das ganze zeigen sollen dafür gilt es tatsächlich das ist die Basis
- die wir jetzt gerade gesetzt haben mit dem Induktionsanfang zweiter Punkt die Induktionsvoraussetzung die ist auch gar
- nicht schlimm die wird mit IV abgekürzt die ist aber super wichtig da schreiben wir jetzt einfach nur folgendes hin und zwar immer also die wirkt ein bisschen
- lächerlich aber sie kann ja auch mal ganz schön sein da schreibt man jetzt einfach hin wir haben ja gerade ein n gefunden für das diese Gleichung hier
- gilt und genau das Schreiben wir jetzt hin es existiert ein N aus den natürlichen Zahlen also entweder ihr habt hier dieses es existiert Zeichen
- oder ihr schreibt wirklich hin es existiert ein N aus den natürlichen Zahlen s dass diese Gleichung hier gilt also die schreibt ihr dann einfach dahin
- und ab sofort dürfen wir das dann benutzen also und das Markieren wir uns jetzt auch mal grün dass wir diese Gleichung hier verwenden dürfen das ist
- unsere Induktionsvoraussetzung die ist super super wichtig also merkt die euch auch wie s so aufgebaut ist von der Struktur
- was so vorkommt hier diese Summe sobald wir auf diese Summe stoßen sollten auf genau die die so aussieht dürfen wir ab sofort das ganze dann durch das hier
- ersetzen also das ist die Induktionsvoraussetzung die gibt uns diese Möglichkeit das ist aber auch schon alles was wir dainschreiben müssen
- und im dritten Schritt da passiert jetzt alles und das ist auch das schwierigste der induktionsschritt der wird mit is
- abgekürzt und da müssen wir jetzt von N auf n + 1 schließen das bedeutet im Grunde einfach nur dass wir mal aufschreiben was wir ab sofort jetzt
- noch zu zeigen haben unsere Induktionsvoraussetzung die wir grün markiert hatten die haben wir hier die müssen wir uns merken die brauchen wir
- auf jeden Fall auch noch und die hilft uns jetzt eigentlich auch ganz gut denn wir ersetzen jetzt hier jedes n was wir irgendwo haben so wie eben auch jetzt
- nicht durch 1 sondern durch n + 1 und schreiben das jetzt mal hier auf also die Summe das wird das sein was wir jetzt gleich noch zu zeigen haben die
- läuft dann von K = 1 bis und jetzt nicht das n hier hinschreiben sondern n + 1 alles andere wie eben auch wenn das kein n ist wird es einfach erstmal so
- abgeschrieben aber sobald wir auf ein N stoßen setzen wir da n + 1 ein und und schaut auch ob ihr da eine Klammer drumrum machen müsst oben euer n + 1
- wenn ihr das ersetzt ist jetzt hier in dem Fall nicht notwendig weil da hinten dran einfach nur + 2 kommt also da kann man die Klammer auch weglassen aber wenn
- da irgendwas mit mal steht oder so dann braucht man die Klammern halt eben und unten hätten wir auch da wieder statt dem N setzen wir n + 1 ein das ist jetzt
- das was wir zu zeigen haben und falls ihr das noch ein bisschen vereinfachen könnt macht das hier z.B + 1 + 2 das kön auch zu + 3
- zusammenfassen aber ansonsten war's das erstmal das ist jetzt das was wir zu zeigigen haben wir dürfen aber immer diese Induktionsvoraussetzung benutzen
- ab sofort also das hier was wir zu zeigen haben habe ich jetzt hier noch mal in rot hingeschrieben und wir werden jetzt so vorgehen dass wir auf der
- linken Seite starten und dann Umformung Umformung Umformung Umformung Umformung machen und dann hoffen dass wir am Schluss auf der rechten Seite das hier
- stehen haben also habt immer im Hinterkopf wo ihr letztendlich hin wollt deswegen ist es schon gut wenn man das so aufgeschrieben hat die linke Seite da
- starten wir das muss man dann einmal noch abschreiben und dann schauen wir jetzt mal wie wir das mit unserem Wissen über unsere
- Induktionsvoraussetzung umformen können was wenn wir das mal vergleichen mit der Induktionsvoraussetzung was ist da momentan noch anders weil wir haben ja
- hier eine Summe von K = 1 das haben wir hier auch von k= ein das was in der Summe steht ist auch identisch das einzige was unterschiedlich ist ist dass
- diese Summe hier bis n läuft und die Summe hier bis n + 1 also wir können die Induktionsvoraussetzung hier jetzt noch nicht benutzen weil die Summe hier zu
- weit läuft die läuft einen summanten zu weit was aber nicht schlimm ist weil wir können so eine Summe auch aufteilen also es muss nicht eine Summe sein die wir
- hier haben solange wir von 1 bis n + 1 alles ablaufen können wir so eine Summe auch in zwei Summen aufteilen also dass die erste Summe bei 1 startet aber nicht
- bis n + 1 läuft sondern nur bis dahin läuft wo wir sie halt eben brauchen nämlich nur bis N und die zweite Summe muss dann natürlich den Rest eben
- auffangen also dass sie dann bei n + 1 losläuft bis dahin wo sie eben laufen soll und das ist eben nur n + 1 also wir teilen diese eine Summe das was in der
- Summe steht das dürfen wir nicht anfassen das muss so stehen bleiben aber wir teilen diese eine Summe die von den Grenzen nicht so passend für uns ist
- einfach in zwei Summen auf wo die Grenzen dann so sind dass wir wenn ihr jetzt mal schaut seht ihr dass ist das da tatsächlich genau das ist was hier
- auf der linken Seite steht und das bedeutet das dürfen wir jetzt durch das Ersetzen im nächsten Schritt und das ist immer das was man will also wenn man bei
- der vollständig Induktion mit Summen arbeitet ist es hier eigentlich immer der erste Schritt dass man so eine Summe in zwei Summen aufteilt und dann kann
- man nämlich jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden und statt dieser Summe die exakt das hier ist eben die Induktionsvoraussetzung
- benutzen und dann dürfen wir das zu dem hier umschreiben denn das dürfen wir ja benutzen die zweite Summe hier die können wir mal berechnen denn wir haben
- nur einen einzigen summanten Summe startet bei n + 1 und sie endet auch bei n + 1 also wir haben nur diesen n + 1 summanten also für das K hier drin
- müssen wir einfach n + 1 einsetzen das heißt für das K setzen wir n + 1 ein und im Nenner auch da 2 hoch und für das K setzen wir eben n + 1 ein und damit
- sieht die Gleichung doch jetzt schon mal viel besser aus das habe ich jetzt auch noch mal auf die nächste Seite geschrieben also das war jetzt die
- letzte Zeile wo wir landandet sind hier sind wir losgelaufen das ist unser Stand wo wir jetzt sind und dann kann ich euch immer empfehlen schaut wo ihr hin wollt
- also wir haben ja hier in unserem zu zeigen schön übersichtlich stehen dass wir hier hin wollen und dann guckt seid ihr schon da oder irgendwie in der Nähe
- die zwei sieht sehr gut aus mit der zwei hier aber hier ist nur ein Bruch momentan haben wir noch zwei Brüche das bedeutet wir müssen die irgendwie zu
- einem Bruch verschm mzen wenn wir auf den Nenner mal schauen dann ist der 2 n + 1 der hier ist auch so nur der hier noch nicht also wenn wir diese beiden
- Brüche zusammenrechnen wollen dann müssen die Nenner eben auch gleich sein das heißt wir müssen diesen Bruch hier so erweitern dass da auch 2n + 1 im
- Nenner steht das dürfen wir natürlich nicht einfach so hinzufügen wir müssen schon gucken wie können wir den denn erweitern dass das passiert also
- untersuchen wir mal ganz kurz dieses 2 hoch n + 1 wie das aufgebaut ist damit wir sehen wie kommen wir von 2 hoch n dann tatsächlich auf 2 h n + 1 und da
- ist es ja so dass wir hier so eine Summe im Exponenten haben und da gibt es ein Potenzgesetz das sagt wenn ihr die Summe nicht im Exponenten stehen haben wollt
- könnt ihr auch zwei einzelne Potenzen draus machen und zwar die Basis bleibt da jeweils zwei einmal kommt das n dann als Hochzahl hin und dann kommt mal die
- Basis bleibt bei 2 und jetzt kommt die ein hier als Hochzahl hin also so darf man so eine Summe im Exponenten eben in zwei einzelne Potenzen auseinander
- ziehen und das perfekte daran ist dass wir hier dieses 2 hoch n tatsächlich sehen und es wird einfach nur mit 2 multipliziert also 2 x 2 hoch n im
- Grunde wenn wir das rumdrehen ist dasselbe wie 2 hoch n + 1 das bedeutet für uns wenn wir das 2 hoch n eben mit 2 multiplizieren wissen wir landen wir bei
- dem selben Nenner hier jetzt dürfen wir natürlich nicht nur unten machen sondern dieses mal 2 müssen wir auch oben machen weil wir müssen den
- Bruch ja einfach nur erweitern das heißt wir müssen oben und unten dasselbe machen wir dürfen nicht einfach den Bruch verändern deswegen schöne Klammer
- hier auch um den Zähler drumrum wenn wir den mit zwei multiplizieren und da gehen wir jetzt mal rein was hätten wir dann hier vorne beim ersten Bruch zweimal n
- wenn wir die Klammer schon mal auflösen weil wir wollen die Brüche ja sowieso zusammenbringen gleich 2 x n sind 2n und 2 x 2 sind 4 im Nenner hätten wir dann
- jetzt das gewünschte diese 2 hoch n + 1 Struktur und da hinten den den lassen wir so stehen der war gut soweit jetzt können wir
- diese Brüche nämlich dann auch zusammenrechnen denn die Nenner sind jetzt gleich wir müssen nur ultra aufpassen denn hier steht ein Minus und
- hier steht ein Plus und wenn wir jetzt einfach hier diese beiden Brüche zusammen rechnen würden dann würde sich dieses Minus plötzlich auch auf den
- Bruch hier hinten beziehen aber das Minus hat mit dem Bruch da hinten gar nichts zu tun deswegen würde ich sagen lasst uns das Minus mal in diesen Bruch
- hier einarbeiten dass wir hier ein Plus stehen haben dann macht man weniger Fehler beim zusammenrechnen von den Brüchen also das Minus
- wandert sozusagen hier in den Zähler rein also hier machen wir ein Plus draus alles andere schreiben wir so ab aber das Minus wird mit dem Zähler
- multipliziert also - 2n wier draus gemacht und auch -4 dann und hinten das war gut soweit das
- Schreiben wir einfach nur ab so die Zeile habe ich jetzt noch mal jetzt hier hingeschrieben und jetzt halt so schön dass hier ein Plus ist hier ein Plus ist
- das heißt wir müssen diese beiden Brüche einfach nur miteinander addieren alle Voraussetzungen sind super erfüllt die Nenner bleiben bei 2 n + 1 und die
- Zähler werden zusammengerechnet hier diese -2n da sehen wir jetzt auch schön dass sich das Minus wirklich hier drauf bezieht und hier hinten kommt dann der
- zweite Teil dazu mit einem Plus da müssen wir auch nicht auf den minus irgendwie aufpassen jetzt wird das Ganze zusammengerechnet
- der Nenner bleibt immer noch den Zähler können wir ein bisschen vereinfachen -2n + 1 n wäre - N und -4 + 1 wären -3 ja wir sind schon nah dran immer mal
- gucken wo wir eigentlich hin wollen das habe ich jetzt noch mal auf die nächste Seite geschrieben das einzige was wir jetzt noch machen müssen also wenn man
- mal so vergleicht ist das hier ein Minus stand und hier steht momentan auch ein Plus bei uns und hier im Zähler war alles positiv hier im Zähler ist bei uns
- alles negativ aber das ja gut ähm dann machen wir jetzt noch mal alles rückgängig was wir eben gemacht hatten wir
- ähm ziehen das Minus jetzt noch mal aus dem Zähler raus also lass uns das mal ausklammern das Minus was bleibt dann übrig wenn wir aus - N ein Minus
- rausziehen bleibt nur n übrig und wenn wir von -3 durch -1 Teilen sozusagen bleibt eine plus 3 übrig im Nenner machen wir gar
- nichts der war die ganze Zeit schon so wie wir ihn haben wollten aber jetzt machen wir wieder genau das das Minus muss nicht im Zähler stehen das kann man
- dann auch vor den Bruch ziehen also Plus und Minus wird dann zu einem Minus und der Nenner war gut so und der Zähler da ist das Minus haben wir jetzt vor den
- Bruch geschrieben und da steht jetzt nur noch n + 3 und seht ihr das dass das genau dasselbe ist was wir zeigen wollten da dürfen wir dann unser Beweis
- Kästchen unten drunter machen denn jetzt haben wir tatsächlich diese Kette gezeigt von dieser linken Seite mit Umformung sind wir auf der rechten Seite
- gelandet und haben alles mit Hilfe der vollständigen Induktion perfekt bewiesen dann hoffe ich dass es euch geholfen hat dass es euch nicht zu sehr verwirrt hat
- aber falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die Kommentare euch einen wunderschönen Tag und bis zum nächsten Video macht's gut
Zum Nachlesen
SummeEine Summe bezeichnet in der Mathematik das Ergebnis einer Addition sowie auch die Darstellung der Addition. Im einfachsten Fall ist eine Summe also eine …
MathematikAn deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der …
Vollständige InduktionDie vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, mit der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird.