Arithmetisches Mittel

Grundidee und Definition

Das arithmetische Mittel, auch arithmetischer Mittelwert oder umgangssprachlich Durchschnitt genannt, ist der gebräuchlichste Mittelwert. Es beschreibt das Zentrum einer Verteilung durch eine Zahl und ist damit ein wichtiger Lageparameter der Statistik. Für metrische Merkmale ist es sinnvoll definiert; für qualitative Merkmale ist es im Allgemeinen nicht geeignet. Bei einem dichotomen Merkmal mit den Kategorien k₁ = 0 und k₂ = 1 entspricht es der relativen Häufigkeit f₂ = f(k₂).

Für eine Stichprobe mit den Beobachtungswerten x₁, x₂, …, xₙ gilt die Definition x̄ := (x₁ + x₂ + ··· + xₙ) / n = (1/n) · Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ. Das Symbol x̄ wird „x quer“ gesprochen. Ohne Gewichte heißt dieser Wert auch einfaches oder ungewichtetes arithmetisches Mittel. Beispielsweise ist das Mittel von 1 und 2 gleich x̄ = (1 + 2) / 2 = 1,5.

Das arithmetische Mittel kann als Mittelpunkt der Messwerte verstanden werden, sagt aber allein nichts darüber aus, wie stark die Werte streuen. Dafür wird unter anderem die empirische Varianz verwendet. Im Gegensatz zum empirischen Median reagiert das arithmetische Mittel empfindlich auf Ausreißer.

Häufigkeiten, Schichten und fortlaufende Berechnung

Bei Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen a₁, …, aₖ und den absoluten Häufigkeiten H₁, …, Hₖ berechnet man x̄ = (1/n) · Σⱼ₌₁ᵏ aⱼHⱼ, mit n = Σⱼ₌₁ᵏ Hⱼ. Verwendet man die relativen Häufigkeiten h₁, …, hₖ, lautet die Formel x̄ = Σⱼ₌₁ᵏ aⱼhⱼ. Die Ausprägungen werden also mit ihren relativen Häufigkeiten gewichtet und anschließend addiert.

Bei einer geschichteten Stichprobe wird das Gesamtmittel aus den Mittelwerten der einzelnen Schichten gebildet. Ist die Gesamtheit E in r Schichten mit Umfängen n₁, …, nᵣ und Mittelwerten x̄₁, …, x̄ᵣ zerlegt und hat sie insgesamt den Umfang n, dann gilt x̄ = (1/n) · Σᵢ₌₁ʳ nᵢx̄ᵢ = Σᵢ₌₁ʳ (nᵢ/n) · x̄ᵢ. Die Gewichte entsprechen somit den relativen Größen der Schichten.

Für zeitlich geordnete Daten kann das Mittel rekursiv berechnet werden: x̄ₙ₊₁ = [n/(n+1)] · x̄ₙ + [1/(n+1)] · xₙ₊₁, mit x̄₀ = x₀ und n = 0, 1, 2, …. Dafür müssen die bisherigen Daten nicht gespeichert werden. Für zeitvariable stochastische Prozesse kann ein Vergessensfaktor γ eingeführt werden. Eine Variante lautet x̄ₙ₊₁ = [γn/(n+1)] · x̄ₙ + [(1 − γ) + 1/(n+1)] · xₙ₊₁, und im Grenzfall n → ∞: x̄ₙ₊₁ = γx̄ₙ + (1 − γ)xₙ₊₁, jeweils mit x̄₀ = x₀, n = 0, 1, 2, … und γ ≲ 1. Ein Vergessensfaktor lässt das Verfahren schneller auf Änderungen reagieren, führt aber zu etwas mehr Rauschen. Im beschriebenen Beispiel mit γ = 0,988 reagierten die Varianten mit Vergessensfaktor deutlich schneller als die einfache Rekursion.

Wichtige Eigenschaften

Die Ersatzwerteigenschaft folgt direkt aus der Definition: Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ = n x̄. Multipliziert man das arithmetische Mittel mit dem Stichprobenumfang, erhält man also die Merkmalssumme. Die gesamte Summe kann so betrachtet werden, als bestünde sie aus n gleichen Werten in Höhe des Mittelwerts.

Die Schwerpunkteigenschaft oder Nulleigenschaft besagt, dass die Summe der Abweichungen vom Mittelwert null ist. Für νᵢ = xᵢ − x̄ gilt Σᵢ₌₁ⁿ νᵢ = Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ − x̄) = 0. Bei Häufigkeiten gilt entsprechend Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ − x̄)fᵢ = 0. Dadurch ist bei n Abweichungen die letzte bereits durch die ersten n − 1 bestimmt. Dies erklärt unter anderem, warum bei der empirischen Varianz durch die Zahl der Freiheitsgrade n − 1 geteilt wird.

Die Optimalitätseigenschaft besagt: Das arithmetische Mittel minimiert die Summe der quadrierten Abweichungen. Für Q(z; x₁, …, xₙ) = Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ − z)² ist der minimierende Wert z = x̄. Denn die erste Ableitung ist −2Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ − z), und die zweite Ableitung ist 2 > 0. Daher gilt für z ≠ x̄: Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ − x̄)² < Σᵢ₌₁ⁿ(xᵢ − z)².

Bei einer linearen Transformation yᵢ = a + b · xᵢ verändert sich der Mittelwert nach der Regel ȳ = a + b · x̄. Außerdem gilt für positive Werte xᵢ > 0 die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel: (x₁ + ··· + xₙ)/n ≥ ⁿ√(x₁ · ··· · xₙ). Gleichheit tritt nur auf, wenn alle Werte gleich sind. Für beliebige Merkmalsausprägungen gilt zudem |(x₁ + ··· + xₙ)/n| ≤ √[(x₁² + ··· + xₙ²)/n], also ist der Absolutbetrag des arithmetischen Mittels höchstens so groß wie das quadratische Mittel.

Typische Beispiele

Das Mittel von 50 und 100 beträgt (50 + 100)/2 = 75. Das Mittel von 8, 5 und −1 beträgt (8 + 5 − 1)/3 = 4.

Bei einem Durchschnittspreis müssen die Mengen berücksichtigt werden. Für 25 kg Kartoffeln zu 1,80 €, 25 kg zu 2,00 € und 100 kg zu 2,20 € pro kg ergibt sich (25 · 1,80 € + 25 · 2,00 € + 100 · 2,20 €) / 150 = 315 € / 150 = 2,10 € pro kg. Der Laden kann somit alle 150 kg zu 2,10 € pro kg verkaufen und erzielt denselben Umsatz von 315 €.

Bei einem Geschwindigkeitsvergleich fährt ein Auto eine Stunde mit 100 km/h und anschließend eine Stunde mit 200 km/h. Die Gesamtstrecke beträgt 100 km + 200 km = 300 km. Für dieselbe Strecke in zwei Stunden muss ein anderes Auto konstant v₂ = 300 km / 2 h = 150 km/h fahren.

Bei der Notengebung kann eine mehrstufige Mittelwertbildung überraschende Ergebnisse liefern. Setzt sich eine Endnote zu je 50 % aus Klassenarbeiten und sonstiger Mitarbeit zusammen, ergeben die Klassenarbeiten mit den Noten 4, 3 und 6 den Mittelwert 4,3̅. Die zehn Noten der sonstigen Mitarbeit ergeben 2,70. Die Endnote ist daher (4,3̅ + 2,70)/2 = 3,51̅6. Ohne die letzte 3 hätte die Mitarbeit den Mittelwert 2,6̅ und die Endnote wäre (4,3̅ + 2,6̅)/2 = 3,50. Die zusätzliche 3 verschlechtert also den Teilmittelwert und dadurch auch die Endnote.

Gewichtete Mittelwerte und Wahrscheinlichkeit

Das gewichtete arithmetische Mittel wird verwendet, wenn einzelne Werte unterschiedlich stark berücksichtigt werden. Werden Mittelwerte x̄ᵢ aus Stichproben mit Umfängen wᵢ zusammengeführt, gilt x̄ = [Σᵢ₌₁ⁿ wᵢx̄ᵢ] / [Σᵢ₌₁ⁿ wᵢ].

Ein Beispiel ist der Butterverkauf: 10 kg werden für 10 €/kg, weitere 10 kg für 6 €/kg und 80 kg für 3 €/kg verkauft. Der gewichtete Durchschnittspreis beträgt (10 · 10 + 10 · 6 + 80 · 3) / (10 + 10 + 80) = 4 €/kg. Dieser Preis würde bei der Gesamtmenge von 100 kg denselben Erlös ergeben.

Das Mittel von 1, 2 und 3 ist 2, das Mittel von 4 und 5 ist 4,5. Mit den Stichprobenumfängen 3 und 2 erhält man für alle fünf Zahlen (3 · 2 + 2 · 4,5)/(3 + 2) = 3. Bei klassierten Häufigkeiten kann man näherungsweise die Klassenmitten verwenden. Für 1, 7, 8 und 4 Kinder in den Gewichtsklassen 20–25 kg, 25–30 kg, 30–35 kg und 35–40 kg ergibt sich mit den Klassenmitten (1 · 22,5 + 7 · 27,5 + 8 · 32,5 + 4 · 37,5)/20 = 31,25 kg. Der tatsächliche Mittelwert liegt zwischen 28,75 kg und 33,75 kg. Der maximale Fehler der Schätzung beträgt daher ±2,5 kg beziehungsweise ±8 %.

Für Zufallsvariablen ist das Stichprobenmittel X̄ = (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ Xᵢ selbst eine Zufallsvariable. Bei unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Varianz σ² besitzt es den Erwartungswert μ und die Varianz Var(X̄) = σ²/n. Es eignet sich deshalb als Schätzung des Erwartungswerts. Sind die Xᵢ Stichprobenmittel mit Umfängen nᵢ aus derselben Grundgesamtheit, ist die Wahl der Gewichte wᵢ = nᵢ optimal.

Bei unabhängigen Zufallsvariablen mit gemeinsamem Erwartungswert μ und unterschiedlichen Varianzen σᵢ² hat ein gewichtetes Mittel ebenfalls den Erwartungswert μ und die Varianz σ²_x̄ = [Σᵢ wᵢ²σᵢ²]/(Σᵢ wᵢ)². Die Wahl wᵢ = 1/σᵢ² oder eine dazu proportionale Wahl minimiert diese Varianz. Bei einer diskreten Zufallsvariablen ist der Erwartungswert E(X) = Σᵢ pᵢxᵢ ein gewichtetes Mittel der Werte mit den Wahrscheinlichkeiten pᵢ. Bei Gleichverteilung pᵢ = 1/n wird daraus das gewöhnliche arithmetische Mittel.

Mittelwert von Funktionen und Verallgemeinerungen

Für eine Lebesgue-integrierbare Funktion f: [a,b] → ℝ ist der Mittelwert definiert als f̄ = [1/(b − a)] · ∫ₐᵇ f(x) dx. Ist f zusätzlich Riemann-integrierbar, konvergiert bei äquidistanten Zerlegungen mit hₙ = (b − a)/n das arithmetische Mittel mₙ(f) = (1/n)Σₖ₌₁ⁿ f(xₖ) für n → ∞ gegen f̄. Ist f stetig, gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung mindestens ein ξ ∈ [a,b] mit f(ξ) = f̄.

Mit einer positiven Gewichtungsfunktion w lautet der Mittelwert f̄ = [∫ₐᵇ f(x)w(x) dx] / [∫ₐᵇ w(x) dx], wobei 0 < ∫ₐᵇ w(x) dx < ∞ gilt. Allgemein kann man für einen Maßraum (Ω, 𝒜, μ) mit 0 < μ(Ω) < ∞ schreiben: f̄ = [1/μ(Ω)] · ∫Ω f dμ. Ist μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, entspricht dieser Mittelwert dem Erwartungswert Eμ[f].

Das quasi-arithmetische Mittel oder f-Mittel verallgemeinert gewichtete Mittel. Für eine streng monotone stetige und daher invertierbare Funktion f auf einem reellen Intervall I sowie Gewichte wᵢ mit 0 ≤ wᵢ ≤ 1 und Σᵢwᵢ = 1 gilt x̄_f = f⁻¹(Σᵢ₌₁ⁿ wᵢf(xᵢ)). Es liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert: min(xᵢ) ≤ x̄_f ≤ max(xᵢ). Für f(x) = x erhält man das arithmetische Mittel, für f(x) = log(x) das geometrische Mittel und für f(x) = xᵏ das k-Potenzmittel. Für Funktionen lässt sich die Definition durch x̄_f = f⁻¹([∫ f(x(t))w(t) dt]/[∫ w(t) dt]) verallgemeinern.