Stammfunktion

Grundidee und Definition

Eine Stammfunktion einer reellen Funktion f:D→ℝ ist eine differenzierbare Funktion F:D→ℝ, deren Ableitung wieder f ergibt. Es muss also für jede Stelle x∈D gelten: F'(x)=f(x). F muss auf D definiert und dort differenzierbar sein.

Gilt F'(x)=f(x) nur auf einer Teilmenge M⊆D, heißt F Stammfunktion von f auf M. Stammfunktionen sind wichtig, weil sie das Ableiten umkehren und damit unter anderem die Berechnung bestimmter Integrale ermöglichen.

Existenz und Unterschiede zwischen Stammfunktionen

Jede stetige Funktion f:I→ℝ auf einem Intervall I besitzt eine Stammfunktion. Für jedes a∈I liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine solche Funktion:

x↦∫ₐˣ f(t) dt.

Ist f auf jedem kompakten Intervall [a,b]⊆I integrierbar, aber nicht überall stetig, existiert diese Integralfunktion zwar, sie muss an Unstetigkeitsstellen jedoch nicht differenzierbar sein. Dann ist sie im Allgemeinen keine Stammfunktion. Eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Stammfunktion ist, dass f den Zwischenwertsatz erfüllt; dies folgt aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen.

Hat f eine Stammfunktion F, dann hat f unendlich viele: Für jede reelle Zahl C ist auch G(x)=F(x)+C eine Stammfunktion. Auf einem Intervall unterscheiden sich alle Stammfunktionen genau um eine Konstante, also ist G−F konstant. Ist der Definitionsbereich kein Intervall, muss diese Differenz nicht insgesamt konstant sein, aber sie ist lokal konstant: auf jeder zusammenhängenden Teilmenge des Definitionsbereichs konstant.

Unbestimmtes Integral und typische Beispiele

Der Ausdruck ∫f(x) dx wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Er kann als Synonym für eine Stammfunktion gelten. Dann ist die Zuordnung nicht eindeutig, weil es zu f meist unendlich viele Stammfunktionen gibt. Häufig ist die dabei auftretende additive Konstante aber nicht entscheidend.

Eine andere Deutung versteht ∫f(x) dx als Gesamtheit aller Stammfunktionen von f. Dabei sind die Werte Äquivalenzklassen; so ist das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung. Weniger häufig bezeichnet es die Integralfunktion x↦∫ₐˣ f(t) dt. Für stetige f ist sie eine Stammfunktion. Bei einer Erweiterung auf Lebesgue-Integrale über beliebigen Maßräumen ist das unbestimmte Integral im Allgemeinen keine Stammfunktion mehr.

Beispiel: Eine Stammfunktion von x³+5x+6 ist ¼x⁴+5/2x²+6x+3. Die Konstante 3 ist frei gewählt; die Funktion entsteht durch Umkehrung elementarer Ableitungsregeln.

Für sgn(x)={−1 für x<0; 1 für x≥0} gilt ∫₀ˣ sgn(t) dt=|x|. Die Funktion |x| ist auf ℝ{0} eine Stammfunktion von sgn, aber nicht auf ganz ℝ, weil |x| bei x=0 nicht differenzierbar ist.

Berechnung bestimmter Integrale

Ist f auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig oder allgemeiner Riemann-integrierbar und F eine Stammfunktion von f, dann gilt:

∫ₐᵇ f(x) dx=F(b)−F(a).

Man berechnet ein bestimmtes Integral also, indem man die Stammfunktion an der oberen Grenze b und an der unteren Grenze a auswertet und die Werte voneinander abzieht. Deshalb werden Stammfunktionen beispielsweise zum Bestimmen von Flächen verwendet, die von Funktionsgraphen begrenzt werden, sowie zur Volumenberechnung von Rotationskörpern.

Grenzen der Integrationsregeln und komplexe Funktionen

Für das Differenzieren gibt es einfache Regeln, für das unbestimmte Integrieren dagegen keine allgemeine Regel zur Bestimmung von Stammfunktionen. Beim Integrieren verlässt man zudem oft eine vorgegebene Funktionsklasse: Rationale Funktionen sind nicht abgeschlossen, denn ihre Integrale können ln und arctan enthalten. Auch elementare Funktionen sind nicht abgeschlossen. Joseph Liouville bewies, dass e^(−x²) keine elementare Stammfunktion besitzt; ebenso besitzt 1/ln x keine elementare Stammfunktion. Dagegen gilt ∫(ln x/x) dx=½ln²x. Integraltafeln sammeln Stammfunktionen; Computeralgebrasysteme können heute fast alle bisher tabellierten Integrale berechnen. Der Risch-Algorithmus entscheidet bei elementaren Funktionen, ob eine elementare Stammfunktion existiert.

Für komplexe Funktionen können nur holomorphe Funktionen, also komplex differenzierbare Funktionen, Stammfunktionen besitzen. Holomorphie reicht lokal aus: Ist D⊆ℂ ein Gebiet, f:D→ℂ holomorph und z₀∈D, gibt es eine Umgebung U von z₀ sowie F:U→ℂ mit F'(z)=f(z) für alle z∈U.

Ob eine Stammfunktion auf ganz D existiert, hängt von den topologischen Eigenschaften von D ab. Für f auf einem offenen, zusammenhängenden D sind gleichwertig: f hat auf D eine Stammfunktion; Wegintegrale über f hängen nur von ihren Endpunkten ab; und Wegintegrale über jeden geschlossenen Weg ergeben 0. Für ein Gebiet D sind außerdem gleichwertig: Jede holomorphe Funktion auf D hat eine Stammfunktion; jeder stetige geschlossene Weg ist nullhomotop und nullhomolog; D ist einfach zusammenhängend.