Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Unstetigkeitsstelle
In der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, wird eine Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs überall dort als unstetig bezeichnet, …
Inhalt6 Abschnitte
Grundidee und Definition
Eine Unstetigkeitsstelle ist eine Stelle, an der eine Funktion nicht stetig ist. Betrachtet werden hier reellwertige Funktionen auf einem reellen Intervall. Ist eine Funktion f: [a,b] -> R auf dem Intervall [a,b] definiert, dann heißt sie an einer Stelle x0 in [a,b] unstetig, falls sie dort nicht stetig ist.
Man kann auch sagen, dass eine Funktion auf einer Menge I Teilmenge von [a,b] unstetig ist, wenn sie an jeder Stelle x in I unstetig ist. Das Thema ist wichtig, weil Unstetigkeiten zeigen, wo sich das Verhalten einer Funktion plötzlich ändert, wo ein Funktionswert nicht zum Grenzwert passt oder wo Grenzwerte gar nicht sinnvoll existieren.
Einseitige Grenzwerte als Grundlage
Zur Einteilung von Unstetigkeitsstellen betrachtet man die einseitigen Grenzwerte an einer Stelle x0 im Inneren des Intervalls, also x0 in (a,b). Der linksseitige Grenzwert ist f(x0-) := lim_{x -> x0-} f(x), der rechtsseitige Grenzwert ist f(x0+) := lim_{x -> x0+} f(x).
Die Funktion f ist genau dann stetig in x0, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und beide gleich dem Funktionswert sind: f(x0-) = f(x0+) = f(x0). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, liegt an x0 eine Unstetigkeit vor.
Arten von Unstetigkeitsstellen
Eine Unstetigkeitsstelle heißt hebbar, wenn f(x0-) und f(x0+) existieren, endlich sind und gleich sind. Die Unstetigkeit entsteht dann nur dadurch, dass der Funktionswert an x0 fehlt oder nicht zum gemeinsamen Grenzwert passt. Sie kann entfernt werden, indem man eine neue Funktion g definiert mit g(x) = f(x) für x != x0 und g(x0) = f(x0-). Dann ist g an x0 stetig.
Eine Sprungstelle liegt vor, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und endlich sind, aber ungleich sind. Der Sprung wird definiert als s := f(x0+) - f(x0-). Bei hebbaren Unstetigkeiten kann man ebenfalls einen Sprung definieren; er ist dann s = 0. Für den Sprung gibt es auch die Schreibweise [[f(x0)]] := s. Wenn auf dem gesamten Definitionsbereich einer Funktion alle einseitigen Grenzwerte existieren und endlich sind, heißt die Funktion sprungstetig oder Regelfunktion.
Ein Pol oder eine Polstelle ist eine Unstetigkeit, bei der f(x0-) und f(x0+) existieren, aber mindestens einer dieser Grenzwerte nur uneigentlich existiert, also den Wert +infty oder -infty annimmt.
Außerdem kann es vorkommen, dass wenigstens einer der einseitigen Grenzwerte weder eigentlich noch uneigentlich existiert. Hebbare Unstetigkeiten und Sprungstellen heißen Unstetigkeitsstellen erster Art. Pole und Fälle, in denen ein Grenzwert gar nicht existiert, heißen Unstetigkeiten zweiter Art oder manchmal wesentliche Unstetigkeiten.
Darstellung im Graphen
Wenn an einer Unstetigkeitsstelle ein linksseitiger oder rechtsseitiger Grenzwert existiert, kann dieser im Funktionsgraphen durch einen kleinen Kreis dargestellt werden. Ist der betreffende Grenzwert zugleich der tatsächliche Funktionswert an dieser Stelle, wird der Kreis ausgefüllt. Ist er nicht der Funktionswert, bleibt der Kreis leer. In vereinfachten Darstellungen können solche Kreise manchmal auch ganz weggelassen werden.
Typische Beispiele
Ein Beispiel für eine hebbare Unstetigkeit ist die Funktion f(x) = x^2 für x < 1, f(x) = 0 für x = 1 und f(x) = 2 - x für x > 1. Sie hat an x0 = 1 eine hebbare Unstetigkeit.
Ein Beispiel für eine Sprungstelle ist die Funktion f(x) = x^2 für x < 1, f(x) = 0 für x = 1 und f(x) = 2 - (x - 1)^2 für x > 1. Sie hat an x0 = 1 eine Sprungstelle mit einem Sprung von 1.
Ein Beispiel für eine Unstetigkeit zweiter Art ist die Funktion f(x) = sin(5/(x - 1)) für x < 1, f(x) = 0 für x = 1 und f(x) = 0,1/(x - 1) für x > 1. Sie hat an x0 = 1 eine Unstetigkeit zweiter Art: Der linksseitige Grenzwert existiert nicht, weder eigentlich noch uneigentlich, und der rechtsseitige Grenzwert ist +infty.
Die Thomaesche Funktion ist auf den rationalen Zahlen unstetig und auf den irrationalen Zahlen stetig. Die Dirichlet-Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich unstetig.
Monotone Funktionen
Für monotone Funktionen gelten besondere Regeln. Ist f: [a,b] -> R auf dem reellen Intervall [a,b] monoton, dann existieren für alle x in (a,b) die einseitigen Grenzwerte f(x-) und f(x+).
Deshalb haben monotone Funktionen keine Unstetigkeitsstellen zweiter Art. Ihre Unstetigkeitsstellen sind also höchstens Unstetigkeitsstellen erster Art. Die Menge dieser Unstetigkeitsstellen erster Art ist höchstens abzählbar, kann aber trotzdem dicht im Definitionsbereich liegen.