Spurpunkt

Bedeutung von Spurpunkten

Ein Spurpunkt ist in der analytischen und darstellenden Geometrie ein Schnittpunkt eines geometrischen Objekts im dreidimensionalen Raum \mathbb{R}^3 mit Koordinatenebenen oder Koordinatenachsen. Bei Geraden betrachtet man Schnittpunkte mit Koordinatenebenen, bei Ebenen Schnittpunkte mit Koordinatenachsen. Spurpunkte helfen dabei, die Lage von Geraden und Ebenen im Koordinatensystem zu bestimmen und darzustellen.

Spurpunkte einer Geraden

Die Spurpunkte einer Geraden sind ihre Schnittpunkte mit den drei Koordinatenebenen:

• S_{xy}: Schnittpunkt mit der x-y-Grundebene z=0.
• S_{xz}: Schnittpunkt mit der Ebene y=0.
• S_{yz}: Schnittpunkt mit der Ebene x=0.

Ein Spurpunkt mit einer bestimmten Koordinatenebene existiert nur, wenn die Gerade nicht parallel zu dieser Ebene verläuft. Eine Gerade kann daher Spurpunkte mit drei, zwei oder einer Koordinatenebene haben: je nachdem, ob sie zu keiner, zwei oder einer Koordinatenebene parallel ist.

Berechnung bei einer Geraden

Liegt eine Gerade in Parameterform g\colon \vec{x}=\vec{p}+t\vec{u} vor, setzt man für den gesuchten Spurpunkt die passende Koordinate gleich null. Dadurch entsteht eine lineare Gleichung für den Parameter t. Nach dem Lösen setzt man den Wert von t in die Geradengleichung ein.

Für \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix} wird S_{xy} durch z=0 bestimmt. Es gilt 0=-4-2t, also t=-2. Daraus folgt S_{xy}(-5\mid-4\mid0). Die Gerade besitzt außerdem S_{yz}(0\mid-0.25\mid-2.5) und S_{xz}(0.\overline{3}\mid0\mid-2\overline{6}).

Spurpunkte einer Ebene

Die Spurpunkte einer Ebene sind ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Sie heißen meist S_x, S_y und S_z; der Index nennt die durchschnittene Achse. Für einen Spurpunkt auf der x-Achse gilt beispielsweise y=0 und z=0.

Ein Spurpunkt mit einer Koordinatenachse existiert nur, wenn die Ebene nicht parallel zu dieser Achse verläuft. Eine Ebene kann Spurpunkte mit drei, zwei oder einer Koordinatenachse besitzen, je nachdem, ob sie zu keiner, einer oder zwei Koordinatenachsen parallel liegt.

Berechnung bei einer Ebene

Am einfachsten berechnet man die Spurpunkte einer Ebene aus ihrer Koordinatengleichung, etwa aus der Achsenabschnittsform oder der allgemeinen Koordinatenform. Bei jedem Spurpunkt sind zwei Koordinaten null; die verbleibende Koordinate wird durch Einsetzen und Auflösen bestimmt.

Für die Ebene 6x+4y-3z=12 erhält man den Spurpunkt auf der x-Achse durch y=0 und z=0. Dann ist 6x=12, also S_x=P(2\mid0\mid0). Entsprechend lauten die weiteren Spurpunkte S_y(0\mid3\mid0) und S_z(0\mid0\mid-4).