Schnittpunkt

Grundidee

Ein Schnittpunkt ist in der Geometrie ein gemeinsamer Punkt von Kurven oder Flächen in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Die Definition kann auch Fälle einschließen, in denen sich Objekte nur berühren oder in denen die gemeinsame Menge selbst wieder eine Kurve oder Fläche ist, zum Beispiel eine Schnittgerade. Je nach Kontext werden solche Fälle aber auch ausgeschlossen.

Allgemein ist ein Schnittpunkt zweier Mengen ein Punkt, der in beiden Mengen enthalten ist. Diese Sichtweise gilt auch für höherdimensionale Objekte wie Hyperebenen. In der modernen Mathematik werden Kurven und Flächen meist durch Gleichungen beschrieben. Schnittpunkte zu bestimmen bedeutet dann, ein Gleichungssystem zu lösen. Bei Geraden, Ebenen und Hyperebenen entstehen lineare Gleichungssysteme, die mit Methoden der linearen Algebra gelöst werden können. Bei allgemeineren Kurven und Flächen entstehen oft nichtlineare Gleichungen, die in der Praxis mit Nullstellenverfahren wie Regula falsi, Sekantenverfahren, Newtonverfahren oder Householder-Verfahren gelöst werden.

Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kegelschnitt, also Kreis, Hyperbel, Ellipse oder Parabel, oder mit einer Quadrik wie Kugel, Ellipsoid oder Hyperboloid führen auf quadratische Gleichungen. Für Gerade mit Ebene, Kugel, Zylinder oder Kegel gibt es außerdem zeichnerische Methoden der darstellenden Geometrie.

Geraden in der Ebene

Bei zwei Geraden in der Ebene hängt das Rechenverfahren davon ab, in welcher Form die Geraden gegeben sind. Häufig verwendet man Normalform, allgemeine Koordinatenform oder Parameterform. Liegen die Geraden anders vor, bringt man sie zuerst in eine dieser Formen.

In Normalform stehen zwei nicht senkrechte Geraden als y1 = m1x + b1 und y2 = m2x + b2. Falls m1 ungleich m2 ist, sind die Geraden nicht parallel und haben genau einen Schnittpunkt S(xS, yS). Man setzt die beiden Gleichungen gleich, löst nach x auf und setzt den gefundenen x-Wert in eine der Ausgangsgleichungen ein. Im Beispiel y1 = 2x - 1 und y2 = -x + 5 ergibt 2x - 1 = -x + 5 die Lösung x = 2 und damit y = 3; der Schnittpunkt ist S = (2,3).

In allgemeiner Koordinatenform stehen die Geraden als a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Die Schnittpunktbestimmung ist dann ein lineares 2×2-Gleichungssystem. Falls a1b2 - a2b1 ungleich 0 ist, sind die Geraden nicht parallel und das System hat eine eindeutige Lösung.

In Parameterform lauten die Geraden g: x⃗ = p⃗ + r u⃗ und h: x⃗ = q⃗ + t v⃗. Gleichsetzen liefert p⃗ + r u⃗ = q⃗ + t v⃗ beziehungsweise r u⃗ - t v⃗ = q⃗ - p⃗. In einem rechtwinkligen Koordinatensystem entsteht daraus ein lineares 2×2-Gleichungssystem in r und t. Hat es die eindeutige Lösung (r0,t0), erhält man den Schnittpunkt durch Einsetzen in eine der Geradengleichungen.

Strecken, Kreise und Polygone

Bei zwei Strecken reicht es nicht, den Schnittpunkt der zugehörigen Geraden zu bestimmen, denn dieser Punkt muss zusätzlich auf beiden Strecken liegen. Man stellt die Strecken mit Parametern r und t dar und setzt sie gleich. Das führt zu einem linearen Gleichungssystem. Die Strecken schneiden sich genau dann, wenn für die Lösung (r0,t0) die Bedingungen 0 ≤ r0,t0 ≤ 1 gelten. Dann erhält man den Schnittpunkt durch Einsetzen eines Parameters in die passende Parameterdarstellung. Im Beispiel der Strecken zwischen P1(1,1), P2(3,2) sowie P3(1,4), P4(2,-1) ergibt sich r0 = 3/11 und t0 = 6/11; daher schneiden sich die Strecken, und der Schnittpunkt hat die Koordinaten xS = 17/11 und yS = 14/11.

Für eine Gerade g: ax + by = c und einen Kreis k: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 löst man ein nichtlineares Gleichungssystem. Meist wird die Geradengleichung nach x oder y aufgelöst und in die Kreisgleichung eingesetzt. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung. Hat sie keine Lösung, ist die Gerade eine Passante; bei genau einer Lösung ist sie eine Tangente; bei zwei Lösungen ist sie eine Sekante. Die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen in eine Ausgangsgleichung.

Bei zwei Kreisen k1 und k2 kann man die Schnittpunkte auf Schnittpunkte eines Kreises mit der Potenzgeraden g12 zurückführen. Diese Gerade entsteht durch Subtraktion der beiden Kreisgleichungen. Für zwei Kreise (x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r1^2 und (x - x2)^2 + (y - y2)^2 = r2^2 lautet die Potenzgerade 2(x2 - x1)x + 2(y2 - y1)y = r1^2 - x1^2 - y1^2 - r2^2 + x2^2 + y2^2.

Bei Polygonen untersucht man grundsätzlich jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons. Bei vielen Teilstrecken ist das aufwendig. Fenstertests beschleunigen das Verfahren: Mehrere Teilstrecken werden zu einem Teilpolygon zusammengefasst, und man betrachtet das minimale achsenparallele Rechteck, das dieses Teilpolygon enthält. Nur wenn solche Fenster überlappen, wird die genauere Schnittpunktberechnung durchgeführt.

Allgemeine Kurven in der Ebene

Zwei stetig differenzierbare Kurven in der Ebene, also Kurven ohne Knick, haben einen Schnittpunkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt besitzen und dort entweder unterschiedliche Tangenten haben oder eine gemeinsame Tangente haben und sich trotzdem kreuzen. Der erste Fall heißt transversales Schneiden. Der zweite Fall heißt berührendes Schneiden. Haben zwei Kurven einen gemeinsamen Punkt und dort eine gemeinsame Tangente, kreuzen sich aber nicht, dann berühren sie sich nur in diesem Punkt.

Da berührendes Schneiden selten und rechnerisch aufwendig ist, betrachtet der Artikel vor allem transversale Schnitte. Die Rechenaufgabe führt je nach Darstellung der Kurven auf eine Gleichung oder auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen nichtlinear und können zum Beispiel mit dem eindimensionalen oder zweidimensionalen Newton-Verfahren numerisch gelöst werden.

Sind beide Kurven explizit gegeben, etwa y1 = f1(x) und y2 = f2(x), setzt man f1(x) = f2(x). Sind beide Kurven parametrisiert, etwa K1 durch (x1(t), y1(t)) und K2 durch (x2(s), y2(s)), löst man x1(t) = x2(s) und y1(t) = y2(s). Ist eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben, setzt man die Parameterdarstellung in f(x,y) = 0 ein und erhält f(x1(t), y1(t)) = 0. Sind beide Kurven implizit gegeben, löst man das Gleichungssystem f1(x,y) = 0 und f2(x,y) = 0.

Für Newton-Verfahren braucht man Startwerte. Diese können aus einer Visualisierung der Kurven gewonnen werden. Parametrisierte oder explizit gegebene Kurven lassen sich leicht visualisieren, weil man für einen Parameter beziehungsweise x-Wert direkt einen Punkt berechnen kann. Implizite Kurven sind schwieriger zu visualisieren und benötigen oft Startpunkte und ein Iterationsverfahren.

Schnittpunkte im Raum

Im dreidimensionalen Raum können Geraden, Kurven, Ebenen und Flächen auf gemeinsame Punkte untersucht werden. Auch hier behandelt der Artikel vor allem transversale Schnitte.

Zwei Geraden im Raum g: x⃗ = p⃗ + r u⃗ und h: x⃗ = q⃗ + t v⃗ schneiden sich genau dann, wenn p⃗ + r u⃗ = q⃗ + t v⃗ für mindestens ein Wertepaar (rS,tS) erfüllt ist. Das bedeutet auch, dass sich q⃗ - p⃗ als Linearkombination von u⃗ und v⃗ darstellen lässt, also dass u⃗, v⃗ und q⃗ - p⃗ linear abhängig sind. In Koordinaten entsteht ein lineares 3×2-Gleichungssystem in r und t. Anders als in der Ebene schneiden sich zwei Geraden im Raum nur im Ausnahmefall, weil das Gleichungssystem überbestimmt ist.

Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene lässt sich besonders einfach berechnen, wenn die Gerade parametrisch und die Ebene in Koordinatenform ax + by + cz = d gegeben ist. Man setzt x, y und z aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und erhält eine lineare Gleichung in t: a(p1 + tu1) + b(p2 + tu2) + c(p3 + tu3) = d. Hat sie eine Lösung t0, erhält man den Schnittpunkt durch Einsetzen in die Gerade. Hat sie keine Lösung, ist die Gerade parallel zur Ebene und liegt nicht in ihr. Ist sie für alle t ∈ R erfüllt, liegt die Gerade vollständig in der Ebene. Wenn auch die Ebene in Parameterform vorliegt, führt Gleichsetzen auf ein lineares 3×3-Gleichungssystem.

Drei Ebenen εi: n⃗i · x⃗ = di für i = 1,2,3 mit linear unabhängigen Normalenvektoren n⃗1, n⃗2, n⃗3 besitzen genau einen gemeinsamen Schnittpunkt. Der Artikel gibt dafür die Formel p⃗0 = [d1(n⃗2 × n⃗3) + d2(n⃗3 × n⃗1) + d3(n⃗1 × n⃗2)] / [n⃗1 · (n⃗2 × n⃗3)]. Dabei werden Kreuzprodukt, Skalarprodukt und Spatprodukt verwendet.

Für eine Kurve mit einer Fläche entstehen im Allgemeinen nichtlineare Gleichungen. Bei einer parametrisierten Kurve K: (x(t), y(t), z(t)) und einer impliziten Fläche F: f(x,y,z) = 0 setzt man die Kurve in die Flächengleichung ein. Im Beispiel K: (t,t^2,t^3) und F: x^4 + y^4 + z^4 - 1 = 0 ist t^4 + t^8 + t^12 - 1 = 0 zu lösen. Die angegebenen Schnittpunkte sind (-0,8587; 0,7374; -0,6332) und (0,8587; 0,7374; 0,6332). Liegt eine Gerade in einer Ebene oder eine Kurve teilweise oder vollständig in einer Fläche, gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte; dann spricht man nicht mehr von einem Schnittpunkt.