Spurgerade

Grundidee und Bedeutung

Eine Spurgerade ist in der analytischen und darstellenden Geometrie die Schnittgerade zwischen einer Ebene im Raum und einer Koordinatenebene des räumlichen Koordinatensystems. Koordinatenebenen sind zum Beispiel die xy-Ebene, die yz-Ebene und die xz-Ebene.

Spurgeraden helfen dabei, die Lage einer Ebene im räumlichen Koordinatensystem grafisch besser hervorzuheben. Sie zeigen also, wo eine Ebene die Koordinatenebenen schneidet.

Spurgeraden und Spurpunkte

Eine Ebene hat im Allgemeinen drei Spurgeraden: s_{xy} mit der Grundrissebene, also der xy-Ebene, s_{yz} mit der Aufrissebene, also der yz-Ebene, und s_{xz} mit der Seitenrissebene, also der xz-Ebene.

Dabei schneidet die Ebene zugleich die Koordinatenachsen in den Spurpunkten S_x, S_y und S_z. Diese Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

Wenn die Ebene nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, schneiden sich jeweils nur zwei der drei Spurgeraden, und zwar genau auf einer Koordinatenachse in den Spurpunkten. Verläuft die Ebene durch den Koordinatenursprung, fallen die Spurpunkte dort zusammen; zugleich schneiden sich dort alle drei Spurgeraden.

Sonderfälle

Liegt die Ebene parallel zu einer der Koordinatenachsen, hat sie keinen Schnittpunkt mit dieser Achse. Dann besitzt sie nur zwei Spurpunkte. Zwei der Spurgeraden sind in diesem Fall parallel zueinander und parallel zu dieser Achse.

Liegt die Ebene parallel zu zwei Koordinatenachsen und damit parallel zu der von ihnen aufgespannten Grundebene, so hat sie nur einen Spurpunkt und nur zwei Spurgeraden.

Berechnung allgemein

In der analytischen Geometrie werden Spurgeraden wie andere Raumgeraden mithilfe von Gleichungen beschrieben. Häufig ist eine Ebene durch eine Gleichung gegeben, und gesucht sind Gleichungen für eine oder mehrere ihrer Spurgeraden.

Die Bestimmung von Spurgeraden entspricht grundsätzlich der Bestimmung von Schnittgeraden zweier Ebenen. Sie ist aber meist einfacher, weil die Koordinatengleichungen der Koordinatenebenen besonders einfach sind. Welche Rechnung man verwendet, hängt davon ab, ob die Ebene zum Beispiel in Normalenform oder in Parameterform gegeben ist.

Ebene in Normalform

Ist eine Ebene in der Form E: ax + by + cz = d gegeben, kann man die Spurgerade mit der xy-Ebene bestimmen, indem man die Gleichung der xy-Ebene z = 0 einsetzt.

Dadurch erhält man sofort die Koordinatenform der Spurgeraden s_{xy}: ax + by = d. Auf analoge Weise erhält man die Spurgeraden s_{xz} und s_{yz}, indem man die passende Koordinate der jeweiligen Koordinatenebene gleich 0 setzt.

Ebene in Parameterform

Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, schreibt man sie als E: x⃗ = p⃗ + r u⃗ + s v⃗. Ausgeschrieben bedeutet das: x = p_1 + r u_1 + s v_1, y = p_2 + r u_2 + s v_2 und z = p_3 + r u_3 + s v_3.

Für die Spurgerade mit der xy-Ebene setzt man z = 0. Dadurch entsteht eine Gleichung für die Parameter r und s der Ebenenpunkte, die auf dieser Spurgeraden liegen. Ist die Ebene E nicht parallel zur xy-Ebene, kann man diese Gleichung nach einem der beiden Parameter auflösen, zum Beispiel r in Abhängigkeit von s. Setzt man das wieder in die Ebenengleichung ein, erhält man nach elementaren Vektorumformungen eine Parametergleichung der Spurgeraden s_{xy}.