Darstellende Geometrie

Gegenstand und Bedeutung

Darstellende Geometrie ist der Teilbereich der Geometrie, der geometrisch-konstruktive Verfahren untersucht, mit denen dreidimensionale Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene projiziert werden. Sie dient sowohl dazu, räumliche Objekte darzustellen, als auch dazu, raumgeometrische Probleme zeichnerisch zu lösen, etwa den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, die Schnittkurve zweier Flächen oder den Schatten eines Objekts.

Anwendungen liegen unter anderem in Technik- und Architekturdarstellung, Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Computer und geometrische Modellierung haben das Zeichnen heute vielfach ergänzt. Dennoch ist Darstellende Geometrie wichtig, damit Nutzer geometrischer Software verstehen, welche Möglichkeiten und Eingaben die Software verlangt. Skizzen mit Zirkel und Lineal helfen außerdem beim Entwickeln räumlicher Ideen sowie beim Interpretieren und Ergänzen von Computerzeichnungen.

Bei räumlichen Bildern stehen Maßgenauigkeit und Anschaulichkeit oft in Konkurrenz: Grund- und Aufriss erlauben meist ein gutes Ablesen von Länge, Breite und Höhe, wirken aber weniger räumlich. Perspektivische Bilder vermitteln einen stärkeren Raumeindruck, lassen genaue Abmessungen jedoch schwieriger erkennen. Reale Objekte werden vor der Projektion gewöhnlich skaliert, zum Beispiel mit den Faktoren 1/10, 1/50 oder 1/100.

Projektionsarten

Bei Projektionen werden Punkte und Kurven eines Objekts mithilfe von Strahlen, also Geraden, auf eine Bildtafel oder Bildebene abgebildet. Die zwei wesentlichen Abbildungsverfahren sind Parallelprojektion und Zentralprojektion.

Bei der Parallelprojektion sind alle Abbildungsstrahlen parallel, ähnlich wie beim Sonnenlicht. Stehen sie senkrecht auf der Bildtafel, spricht man von senkrechter Parallelprojektion, Orthogonalprojektion oder Normalprojektion. Stehen sie nicht senkrecht auf der Bildtafel, handelt es sich um eine schiefe oder schräge Parallelprojektion. Für Ingenieure ist sie besonders geeignet, weil sie teilverhältnistreu ist: Teilverhältnisse auf Geraden bleiben invariant. Die Vogelperspektive kann eine schiefe Parallelprojektion sein, beispielsweise zur Veranschaulichung von Stadtplänen.

Grundriss und Aufriss sind senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale beziehungsweise senkrechte Ebene. Zusammen beschreiben sie ein Objekt mit den entsprechenden Bezeichnungen räumlich eindeutig.

Bei der Zentralprojektion verlaufen alle Abbildungsstrahlen durch einen Punkt, das Projektionszentrum oder den Augpunkt O. Bilder paralleler Geraden bleiben bei Parallelprojektionen im Allgemeinen parallel. In Zentralprojektionen treffen sie sich im Allgemeinen in einem Fluchtpunkt ihres Parallelbüschels. Zentralprojektion liefert den stärksten optischen Raumeindruck: Gleich große, weiter entfernte Objekte erscheinen kleiner. In einer Parallelprojektion kann ein hinteres Haus dagegen größer wirken als ein vorderes, weil das Auge eine Größenabnahme mit der Entfernung erwartet.

Hilfsmittel und grundlegende Methoden

Klassische technische Hilfsmittel sind Papier, Bleistift, Zirkel, Lineal, Geodreieck und Kurvenlineal. Ein Computer mit geeigneter Software, etwa Cinderella, GeoGebra, Inkscape oder Xfig, kann diese Hilfsmittel ersetzen; die Bedienung erfolgt beispielsweise mit der Computer-Maus, der Ausdruck mit einem Drucker. In der Ausbildung von Architekten und Ingenieuren bleiben klassische Hilfsmittel jedoch grundlegend.

Theoretisch stützt sich das Fach auf Aussagen der klassischen Geometrie: Strahlensätze, die Sätze von Pythagoras und Thales, Sätze über Dreiecke und Kegelschnitte sowie Eigenschaften von Quadriken wie Kugel, Kegel und Zylinder.

Die wichtigsten Arbeitsmittel sind Grund- und Aufriss einschließlich ihrer Zuordnungen. Die Zweitafelprojektion nutzt diese beiden Risse; zusätzliche Risse heißen Umprojektionen oder Mehrtafelprojektionen. Daraus lassen sich Parallelbilder durch Axonometrie, Einschneideverfahren, orthogonale Axonometrie und Umrisskonstruktion für gekrümmte Flächen herstellen. Zentralprojektionen werden besonders mit Architektenanordnung und Frontalperspektive konstruiert. Nach der Festlegung von Bildtafel, Hauptpunkt und Augpunkt soll der Sehkreis eingezeichnet werden, weil Bildteile innerhalb des Sehkreises unverzerrt erscheinen.

Eine Grundaufgabe ist die zeichnerische Bestimmung des Schnittpunkts einer Geraden mit einer Ebene durch das Durchstoßpunkt-Verfahren. Durchstoßpunkte werden etwa bei Schattenkonstruktionen gebraucht. Weitere Aufgaben sind Schnittpunkte einer Geraden mit Kugel, Kegel oder Zylinder und Schnittkurven zweier Flächen. Dafür gibt es Hilfsebenenverfahren, Mantellinienverfahren, Pendelebenenverfahren und Hilfskugelverfahren. Für Modelle durchdringender Zylinder oder Kegel nutzt man oft aufgewickelte Abwicklungen dieser Flächen.

Sonderkonstruktionen und räumliche Formen

Eintafelprojektionen sind Grundrisse mit Zusatzinformationen zur räumlichen Beschreibung. Die kotierte Projektion wird im Straßenbau verwendet, um Böschungsflächen zu konstruieren und darzustellen. Die Dachausmittlung bestimmt Grat-, Kehl- und Firstlinien, also Schnittgeraden ebener Dachflächen.

Geneigte Strecken oder ebene Figuren in Parallelprojektionen werden mit wahrer Länge und wahrer Gestalt entzerrt. Für Zentralprojektionen und Fotos gibt es entsprechende Methoden der Rekonstruktion.

Kreise und Ellipsen sind wichtige Begrenzungskurven von Zylindern, Kegeln und Rotationsflächen. Für das Zeichnen von Ellipsen sind konjugierte Durchmesser sowie die Rytzsche Achsenkonstruktion wichtig; diese rekonstruiert die Hauptachsen. Anschließend kann die Ellipse mit der Scheitelkrümmungskreismethode gezeichnet werden. Der Umriss einer Kugel ist bei senkrechter Parallelprojektion ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Bei Vogelperspektive, Kavalierperspektive und Zentralprojektion erscheint er, von Sonderfällen abgesehen, als Ellipse.

Schraublinien sind in der Architektur bei Wendeltreppen und in der Technik bei Schrauben und Spiralbohrern wesentlich. Sie werden in Grund- und Aufriss sowie in orthogonalen und schiefen Parallelprojektionen dargestellt. Auch Spiegelbilder, die durch Reflexion an Wasseroberflächen oder Wandspiegeln entstehen, können in Axonometrien und Zentralprojektionen konstruiert werden.

Ansichten, Ausbildung und Entwicklung

Kavalier- oder Kabinettperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion auf eine senkrechte Bildtafel; Figuren parallel zur Bildtafel bleiben unverzerrt. Vogelperspektive bezeichnet Ansichten von oben. In der Zentralprojektion liegt der Augpunkt dabei deutlich höher als die größte Höhe des Objekts und die Bildtafel ist geneigt. Die Militärperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion mit horizontaler Bildtafel; horizontale Figuren bleiben unverzerrt.

Eine Ingenieurprojektion ist ein axonometrisches Bild mit den Verkürzungen (0.5, 1, 1). Die Bilder der x- und y-Achse schließen mit dem Bild der z-Achse Winkel von 132° beziehungsweise 97° ein. Sie verbindet einfache Verkürzungen, gute Bildwirkung, eine skalierte Orthogonalprojektion und Kreisumrisse von Kugeln. Bei einer Isometrie sind die Verzerrungen in x-, y- und z-Richtung gleich; bei der Standardisometrie schließen die Bilder der Koordinatenachsen Winkel von 120° ein. In der Projektion eines achsenparallelen Würfels fallen dabei zwei Punkte zusammen.

Froschperspektive ist eine Zentralprojektion mit einem Augpunkt nahe der Standebene. Frontalperspektive ist eine Zentralprojektion eines Objekts mit drei zueinander orthogonalen Richtungen, bei der zwei Richtungen parallel zur Bildtafel sind. Sie hat einen wesentlichen Fluchtpunkt, meist den Hauptpunkt; Figuren in Ebenen parallel zur Bildtafel werden nur skaliert und nicht verzerrt. Perspektiven mit zwei oder drei Fluchtpunkten besitzen entsprechend zwei beziehungsweise drei wesentliche Fluchtpunkte; bei drei Fluchtpunkten ist die Bildtafel geneigt. Zentralperspektive ist Zentralprojektion, Parallelperspektive ist Parallelprojektion.

Darstellende Geometrie wird an technisch-berufsbildenden Schulen sowie in der Ingenieurausbildung an Technischen Universitäten und Fachhochschulen unterrichtet. Sie behandelt räumliche, besonders technische Strukturen und fördert Zeichentechniken, räumliche Vorstellungskraft, präzises Denken sowie Verbindungen zu Mathematik, Technik und Bildender Kunst. CAD verlangt zusätzliche Softwarekenntnisse, ersetzt aber nicht die Denkarbeit, eine 2D-Darstellung in ein 3D-Denkmodell umzusetzen. Historisch verwendete man Grund- und Aufrisse bereits im Altertum; Vitruvs „Zehn Bücher über Architektur“ ist der älteste schriftliche Beleg. Albrecht Dürer schrieb 1525 mit „Underweysung mit dem Zirkel und Richtscheydt“ das erste wirkliche Lehrbuch. Gaspard Monge führte die strenge Zuordnung von Grund- und Aufriss zur zeichnerischen Lösung räumlicher Probleme ein.