Spur (Mathematik)

Grundidee und Spur von Matrizen

Die Spur ist ein Konzept der linearen Algebra und Funktionalanalysis, das auch bei Körpererweiterungen verwendet wird. Für eine quadratische n×n-Matrix A über einem Körper K ist sie die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonale:

\operatorname{Spur}(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{jj}=a_{11}+a_{22}+\dotsb+a_{nn}\in K.

Hat A die Spur 0, heißt A spurfrei. Gebräuchliche Bezeichnungen sind unter anderem \operatorname{Spur}, \operatorname{Sp}, \operatorname{tr} und \operatorname{Tr}.

Wichtige Rechenregeln und Zusammenhänge

Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit. Im charakteristischen Polynom steht das Negative der Spur als zweithöchster Koeffizient.

Die Spur ändert sich nicht beim Transponieren: \operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Spur}(A^T). Sie ist außerdem linear. Für Matrizen A, B und r,s\in K gilt

\operatorname{Spur}(rA+sB)=r\cdot\operatorname{Spur}(A)+s\cdot\operatorname{Spur}(B).

Für A\in K^{n\times m} und B\in K^{m\times n} darf die Reihenfolge im Produkt unter der Spur vertauscht werden:

\operatorname{Spur}(AB)=\operatorname{Spur}(BA)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ji}.

Daraus folgt \operatorname{Spur}(AB-BA)=0 für quadratische Matrizen sowie die Invarianz bei zyklischer Vertauschung, etwa \operatorname{Spur}(ABC)=\operatorname{Spur}(CAB)=\operatorname{Spur}(BCA). Ähnliche Matrizen haben dieselbe Spur: \operatorname{Spur}(B^{-1}AB)=\operatorname{Spur}(A), wenn B invertierbar ist. Daher ist die Spur invariant unter Basistransformationen.

Weitere Eigenschaften sind: Ist A positiv definit und B nicht negativ, dann \operatorname{Spur}(AB)\geq0. Ist A symmetrisch und B anti-symmetrisch, dann \operatorname{Spur}(AB)=0. Für reelle oder komplexe idempotente Matrizen gilt \operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Rang}(A); über anderen Körpern gilt dies nur modulo der Charakteristik.

Für reelle oder komplexe Matrizen gilt \det(\exp(A))=\exp(\operatorname{Spur}(A)). Für jede diagonalisierbare reelle Matrix A gilt umgekehrt \operatorname{Spur}(\ln A)=\ln(\det A). Mit \langle A,B\rangle:=\operatorname{Spur}(AB^*) wird das Frobenius-Skalarprodukt definiert. Daraus folgt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|\operatorname{Spur}(AB^*)|\leq(\operatorname{Spur}(AA^*))^{1/2}(\operatorname{Spur}(BB^*))^{1/2}.

Endomorphismen ohne Basisabhängigkeit

Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung f\colon V\to V eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich selbst. Seine Spur wird als Spur einer Darstellungsmatrix bezüglich einer beliebigen Basis von V definiert. Weil ähnliche Matrizen dieselbe Spur besitzen, hängt dieser Wert nicht von der gewählten Basis ab.

Koordinatenfrei lässt sich dies über Tensorprodukte beschreiben. Für einen endlichdimensionalen K-Vektorraum wird \operatorname{End}(V) mit V\otimes V^* identifiziert, indem (v\otimes\alpha)(w)=\alpha(w)\cdot v gesetzt wird. Die natürliche Paarung t\colon V\times V^*\to K erzeugt eine lineare Abbildung t'\colon V\otimes V^*\to K. Unter dieser Identifikation ist t' genau die Spur eines Endomorphismus.

Spur auf Hilberträumen und in der Quantenmechanik

Auf einem unendlichdimensionalen Hilbertraum H mit Orthonormalbasis (e_i)_{i\in I} wird für einen Operator A\colon H\to H angesetzt:

\operatorname{Spur}(A):=\sum_{i\in I}\langle Ae_i,e_i\rangle,

falls die Summe existiert. Ihre Endlichkeit kann von der Orthonormalbasis abhängen. Spurklasseoperatoren sind Operatoren, deren Spur für alle Orthonormalbasen endlich ist; sie sind immer kompakt. Bei ihnen ist die Summe basisunabhängig und die Spur somit wohldefiniert. Viele Rechenregeln aus der linearen Algebra gelten auch für sie.

In Quantenmechanik und Quantenstatistik wird der Begriff auf selbstadjungierte Operatoren erweitert, auch wenn diese nicht zur Spurklasse gehören, zum Beispiel auf den Hamiltonoperator \mathcal H. Ein solcher Operator besitzt eine Spektraldarstellung A=\int_{\lambda\in\operatorname{Spec}_A}\lambda\,\mathrm d\mathcal E_A. Für A'=e^{-A/T} wird die Spur durch

\operatorname{Spur}(A'):=\int_{\lambda\in\operatorname{Spec}_A}e^{-\lambda/T}\,\mathrm dp_A(\lambda)

definiert. Beim Punktspektrum kann \mathrm dp_A(\lambda)=\delta(\lambda-a_i)\mathrm d\lambda sein. Funktionen eines Operators haben dieselben Eigenvektoren wie der Operator, während sich die Eigenwerte gemäß a_\lambda\to f(a_\lambda) ändern.

Auch wenn das Integral für T\to\infty divergiert, kann die Formel in der Kombination \langle A\rangle_T=\operatorname{Spur}\{e^{-\mathcal H/T}A/\operatorname{Spur}e^{-\mathcal H/T}\} sinnvoll sein: Dies ist der thermische Erwartungswert, bei dem sich Divergenzen in Zähler und Nenner kompensieren können. Spektralanteile, die betragsmäßig sehr viel größer als T sind, werden exponentiell klein. Nicht spurklassige Operatoren können dabei beliebig genau durch endliche Summen von Spurklasseoperatoren approximiert werden.

Für einen Operator Z auf dem Produktraum A\otimes B gilt mit der Partialspur: \operatorname{Spur}(Z)=\operatorname{Spur}_A(\operatorname{Spur}_B(Z))=\operatorname{Spur}_B(\operatorname{Spur}_A(Z)).

Spur bei endlichen Körpererweiterungen

Bei einer endlichen Körpererweiterung L/K ist die Spur eine K-lineare Abbildung von L nach K. Man betrachtet L als K-Vektorraum. Für \alpha\in L ist \operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha) die Spur der Darstellungsmatrix des K-linearen Endomorphismus L\ni x\mapsto\alpha\cdot x\in L.

Ist L/K galoissch, kann die Spur als Summe der Konjugierten von \alpha geschrieben werden:

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)}\sigma(\alpha).