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Ähnlichkeit (Matrix)
In dem mathematischen Teilgebiet lineare Algebra ist Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen.
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Grundidee und Definition
Ähnlichkeit ist in der linearen Algebra eine Äquivalenzrelation für quadratische Matrizen. Sie ist wichtig, weil ähnliche Matrizen dieselbe lineare Selbstabbildung eines Vektorraums, also denselben Endomorphismus, beschreiben: Sie verwenden lediglich unterschiedliche Basen.
Zwei quadratische Matrizen A,B ∈ K^(n×n) über einem Körper K heißen ähnlich, wenn es eine reguläre, also invertierbare, Matrix S ∈ K^(n×n) gibt mit B = S⁻¹AS. Gleichwertig dazu ist die Bedingung SB = AS. Die Zuordnung A ↦ B = S⁻¹AS heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation.
Ist eine Matrix zu einer Diagonalmatrix ähnlich, heißt sie diagonalisierbar. Ist sie zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, heißt sie trigonalisierbar.
Unveränderte Kenngrößen und Normalformen
Ähnliche Matrizen A und B haben dasselbe charakteristische Polynom. Dieses ist durch χ_A(λ) = det(λI − A) definiert, wobei I die Einheitsmatrix und det die Determinante ist. Für B = S⁻¹AS gilt: χ_B(λ) = det(λI − S⁻¹AS) = det(S⁻¹(λI − A)S) = det(S⁻¹)det(λI − A)det(S) = det(λI − A) = χ_A(λ).
Daraus folgt insbesondere: Ähnliche Matrizen haben dieselben Eigenwerte, jedoch nicht zwingend dieselben Eigenvektoren. Außerdem stimmen Determinante und Spur überein. Weitere gemeinsame Kenngrößen sind Rang, Minimalpolynom und jordansche Normalform.
Für komplexe Matrizen gilt: Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie – bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke – dieselbe jordansche Normalform besitzen. Allgemeiner besagt das Lemma von Frobenius: A und B sind genau dann ähnlich, wenn sie dieselbe Frobenius-Normalform haben. Dies ist wiederum genau dann der Fall, wenn die charakteristischen Matrizen xI − A und xI − B dieselbe Smith-Normalform besitzen.
Äquivalenzklassen
Die Ähnlichkeit ist reflexiv, symmetrisch und transitiv und damit eine Äquivalenzrelation. Man schreibt A ∼ B, wenn A und B ähnlich sind. Die Äquivalenzklasse einer Matrix A ∈ K^(n×n) ist [A] = {B ∈ K^(n×n) | B ∼ A}.
Ein Sonderfall sind Vielfache der Einheitsmatrix. Für c ∈ K besteht die Äquivalenzklasse von cI nur aus dieser Matrix selbst: [cI] = {cI}. Denn für jede reguläre Matrix S gilt S⁻¹(cI)S = cI.
Die Ähnlichkeit quadratischer Matrizen ist ein Spezialfall einer allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der (m×n)-Matrizen.
Transformationsmatrix bestimmen
Sind ähnliche Matrizen A und B gegeben, kann eine Matrix S mit B = S⁻¹AS über eine gemeinsame Normalform bestimmt werden. Man überführt zunächst A und B in dieselbe Frobenius-Normalform oder, falls möglich, in dieselbe Jordan-Normalform F. Gilt dabei F = G⁻¹AG und F = H⁻¹BH für reguläre Matrizen G und H, dann folgt B = HG⁻¹AGH⁻¹ = (GH⁻¹)⁻¹A(GH⁻¹). Damit ist die gesuchte Transformationsmatrix S = GH⁻¹.
Für A = ((-3, 2), (-1, 0)) und B = ((2, 3), (-4, -5)) erhält man χ_A(λ) = (λ + 2)(λ + 1) und χ_B(λ) = (λ + 2)(λ + 1). Die Eigenwerte sind somit λ₁ = −2 und λ₂ = −1. Da das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, haben beide Matrizen die gleiche Jordan-Normalform F = ((−2, 0), (0, −1)).
Für A können Eigenvektoren v₁ = (2, 1)ᵀ zu λ₁ und v₂ = (1, 1)ᵀ zu λ₂ gewählt werden. Für B sind passende Eigenvektoren w₁ = (3, −4)ᵀ und w₂ = (1, −1)ᵀ. Daher sind G = ((2, 1), (1, 1)) und H = ((3, 1), (−4, −1)). Es folgt S = GH⁻¹ = ((2, 1), (3, 2)). Diese Matrix erfüllt B = S⁻¹AS. Sie ist nicht eindeutig: Auch jedes cS mit c ≠ 0 erfüllt die gleiche Identität.
