Körper (Algebra)

Grundidee und Definition

Ein Körper ist in der Algebra eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division in einer festgelegten Weise möglich sind. Die Division durch 0 bleibt ausgeschlossen. Wichtige Beispiele, die in vielen Gebieten der Mathematik verwendet werden, sind der Körper der rationalen Zahlen \mathbb{Q}, der Körper der reellen Zahlen \mathbb{R} und der Körper der komplexen Zahlen \mathbb{C}.

Formal ist ein Körper eine Menge K mit zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen + und \cdot, also Addition und Multiplikation. Für diese Verknüpfungen gelten die Körperaxiome: (K,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0, (K\setminus\{0\},\cdot) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1, und es gelten die Distributivgesetze a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c sowie (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c für alle a,b,c\in K. Eine abelsche Gruppe bedeutet hier: Die Verknüpfung ist assoziativ, kommutativ, besitzt ein neutrales Element und jedes Element besitzt ein inverses Element.

Axiome und Rechenregeln

Für die Addition gelten in einem Körper das Assoziativgesetz a+(b+c)=(a+b)+c, das Kommutativgesetz a+b=b+a, die Existenz eines neutralen Elements 0\in K mit 0+a=a, und zu jedem a\in K gibt es ein additives Inverses -a\in K mit (-a)+a=0.

Für die Multiplikation gelten das Assoziativgesetz a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c, das Kommutativgesetz a\cdot b=b\cdot a, die Existenz eines neutralen Elements 1\in K\setminus\{0\} mit 1\cdot a=a, und zu jedem a\in K\setminus\{0\} gibt es ein multiplikatives Inverses a^{-1}\in K mit a^{-1}\cdot a=1.

Addition und Multiplikation sind durch die Distributivgesetze verbunden: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c und (b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a. Wegen der Kommutativität der Multiplikation würde es genügen, nur ein Distributivgesetz anzugeben.

Körper als Ring und wichtige Begriffe

Ein Körper kann auch als besonderer Ring beschrieben werden: Ein kommutativer unitärer Ring, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper, wenn jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt. Anders gesagt ist ein Körper ein kommutativer unitärer Ring K, dessen Einheitengruppe K^{*} gleich K\setminus\{0\} ist.

In einem Körper gibt es genau eine 0 und genau eine 1. Das additive Inverse von a ist -a, das multiplikative Inverse von a ist a^{-1} und heißt auch Kehrwert. Nur 0 hat keinen Kehrwert; deshalb ist die multiplikative Gruppe eines Körpers K^{*}=K\setminus\{0\}. Die Bildung von -a bedeutet nicht, dass a selbst negativ sein muss; allgemein gibt es in einem Körper keinen Begriff von positiven oder negativen Elementen, außer wenn zusätzlich eine passende Ordnung definiert ist.

Jeder Körper ist nullteilerfrei: Ein Produkt zweier Elemente ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Jedem Körper lässt sich eine Charakteristik zuordnen; sie ist entweder 0 oder eine Primzahl. Der Primkörper ist die kleinste Teilmenge eines Körpers, die selbst alle Körperaxiome erfüllt. Er ist entweder isomorph zu \mathbb{Q} bei Charakteristik 0 oder ein endlicher Restklassenkörper \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} bei Charakteristik p.

Polynome, Ordnung und Erweiterungen

Ein Körper K ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst; außerdem gibt es über allen Körpern Vektorräume beliebiger Dimension. Für die algebraische Untersuchung eines Körpers ist der Polynomring K[X], also der Ring der Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten aus K, wichtig.

Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn sich jedes nichtkonstante Polynom aus K[X] in Linearfaktoren aus K[X] zerlegen lässt. Er heißt vollkommen, wenn kein irreduzibles nichtkonstantes Polynom aus K[X] in irgendeiner Körpererweiterung mehrfache Nullstellen hat. Algebraische Abgeschlossenheit impliziert Vollkommenheit, aber nicht umgekehrt.

Wenn auf einem Körper eine mit Addition und Multiplikation verträgliche Totalordnung definiert ist, spricht man von einem geordneten Körper; erst dann kann man von positiven und negativen Zahlen sprechen. Wird in einer solchen Ordnung jedes Körperelement \alpha durch eine endliche Summe des Einselementes übertroffen, also \alpha<1+1+\cdots+1, erfüllt der Körper das archimedische Axiom oder heißt archimedisch geordnet.

Eine Teilmenge K eines Körpers L, die mit denselben Operationen selbst wieder ein Körper ist, heißt Unterkörper oder Teilkörper. Das Paar heißt Körpererweiterung und wird K\subset L, L/K oder L|K geschrieben. Zum Beispiel ist \mathbb{Q} ein Teilkörper von \mathbb{R}. Eine Teilmenge U eines Körpers K ist ein Teilkörper, wenn 0_K\in U, 1_K\in U, sie unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist, mit jedem Element auch sein additives Inverses enthält und mit jedem von Null verschiedenen Element auch sein multiplikatives Inverses enthält. Körpererweiterungen werden besonders in der Galoistheorie untersucht.

Beispiele und Gegenbeispiele

Bekannte Körper sind (\mathbb{Q},+,\cdot), (\mathbb{R},+,\cdot) und (\mathbb{C},+,\cdot), jeweils mit der üblichen Addition und Multiplikation. Körper können durch Adjunktion erweitert werden. Ein Beispiel ist \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}. Dieser Ausdruck bildet einen Körper; eine mögliche Basis ist 1,\sqrt{2}. Für ein von Null verschiedenes Element gilt \frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a}{a^{2}-2b^{2}}+\frac{-b}{a^{2}-2b^{2}}\sqrt{2}, also hat das Inverse wieder dieselbe Form.

Ein weiteres Beispiel ist \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d\in\mathbb{Q}\}. Dieser Körper hat die Basis \{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}. Weitere Beispiele sind die Restklassenkörper \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{F}_p für Primzahlen p, ihre endlichen Körpererweiterungen, die endlichen Körper, sowie der Körper \mathbb{Q}_p der p-adischen Zahlen zu jeder Primzahl p.

Die ganzen Zahlen (\mathbb{Z},+,\cdot) sind kein Körper. Zwar bilden sie mit der Addition eine Gruppe, aber (\mathbb{Z}\setminus\{0\},\cdot) ist keine Gruppe: Außer 1 und -1 besitzen ganze Zahlen keine multiplikativen Inversen in \mathbb{Z}; zum Beispiel ist 3^{-1}=1/3 nicht ganzzahlig, sondern echt rational. Die ganzen Zahlen bilden nur einen Integritätsring; ihr Quotientenkörper ist \mathbb{Q}. Ähnliche Quotientenkörper entstehen etwa aus Polynomringen, zum Beispiel der Körper der rationalen Funktionen K(x_1,x_2,\dots,x_n) aus K[x_1,x_2,\dots,x_n].

Endliche Körper und Verallgemeinerungen

Ein Körper heißt endlich, wenn seine Grundmenge K endlich ist. Endliche Körper sind vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau q=p^{n} Elemente mit einer Primzahl p und einer positiven natürlichen Zahl n. Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen q genau einen endlichen Körper, der mit \mathbb{F}_q bezeichnet wird. Jeder Körper \mathbb{F}_{p^n} hat die Charakteristik p.

Im Spezialfall n=1 erhält man zu jeder Primzahl p den Körper \mathbb{F}_p, der isomorph zum Restklassenkörper \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ist und Primkörper der Charakteristik p heißt. Für n\geq 2 ist \mathbb{F}_{p^n} niemals isomorph zu \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}. Stattdessen ist \mathbb{F}_{p^n} isomorph zu (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]/(P), wobei P ein irreduzibles Polynom vom Grad n in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X] ist und (P) das von P erzeugte Ideal bezeichnet.

Eine wichtige Verallgemeinerung entsteht, wenn man bei der Multiplikation auf Kommutativität verzichtet: Dann erhält man einen Schiefkörper. Manche Autoren verlangen bei Schiefkörpern ausdrücklich, dass die Multiplikation nicht kommutativ ist; dann sind Körper und Schiefkörper getrennte Begriffe. Ein Beispiel für einen echten Schiefkörper sind die Quaternionen. In der Geometrie dienen Körper zur Koordinatendarstellung von Punkten in affinen und projektiven Räumen; in schwächeren geometrischen Strukturen verwendet man auch Alternativkörper, Quasikörper und Ternärkörper als Koordinatenbereiche.